Método de efectos elementales - Elementary effects method

El método de efectos elementales (EE) es el método de cribado más utilizado en el análisis de sensibilidad .

La EE se aplica para identificar entradas no influyentes para un modelo matemático computacionalmente costoso o para un modelo con una gran cantidad de entradas, donde los costos de estimar otras medidas de análisis de sensibilidad, como las medidas basadas en la varianza , no son asequibles. Como todo cribado, el método EE proporciona medidas de análisis de sensibilidad cualitativa, es decir, medidas que permiten la identificación de insumos no influyentes o que permiten clasificar los factores de insumos en orden de importancia, pero no cuantifican exactamente la importancia relativa de los insumos.

Metodología

Para ejemplificar el método EE, supongamos que consideramos un modelo matemático con factores de entrada. Sea la salida de interés (un escalar por simplicidad): ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y = f (X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {k}).}$

El método EE original de Morris proporciona dos medidas de sensibilidad para cada factor de entrada:

• la medida , evaluando la importancia general de un factor de entrada en la salida del modelo; ${\ Displaystyle \ mu}$
• la medida , describiendo efectos e interacciones no lineales . ${\ Displaystyle \ sigma}$

Estas dos medidas se obtienen mediante un diseño basado en la construcción de una serie de trayectorias en el espacio de las entradas, donde las entradas se mueven aleatoriamente One-At-a-Time (OAT). En este diseño, se supone que cada entrada del modelo varía en los niveles seleccionados en el espacio de los factores de entrada. La región de experimentación es, por tanto, una cuadrícula de nivel -dimensional . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle p}$

Cada trayectoria se compone de puntos, ya que los factores de entrada se mueven uno por uno de un paso hacia adentro mientras que todos los demás permanecen fijos. ${\ Displaystyle (k + 1)}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ {0,1 / (p-1), 2 / (p-1), ..., 1 \}}$

A lo largo de cada trayectoria, el llamado efecto elemental para cada factor de entrada se define como:

${\ Displaystyle d_ {i} (X) = {\ frac {Y (X_ {1}, \ ldots, X_ {i-1}, X_ {i} + \ Delta, X_ {i + 1}, \ ldots, X_ {k}) - Y (\ mathbf {X})} {\ Delta}}}$ ,

donde es cualquier valor seleccionado de tal manera que el punto transformado todavía está en para cada índice ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {k})}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, k.}$

${\ Displaystyle r}$ Los efectos elementales se estiman para cada entrada mediante puntos de muestreo aleatorios . ${\ Displaystyle d_ {i} \ left (X ^ {(1)} \ right), d_ {i} \ left (X ^ {(2)} \ right), \ ldots, d_ {i} \ left (X ^ {(r)} \ right)}$ ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle X ^ {(1)}, X ^ {(2)}, \ ldots, X ^ {(r)}}$

Por lo general, ~ 4-10, dependiendo del número de factores de entrada, del costo computacional del modelo y de la elección del número de niveles , ya que una gran cantidad de niveles a explorar debe equilibrarse con una gran cantidad de trayectorias. , con el fin de obtener una muestra exploratoria. Se demuestra que es una elección conveniente para los parámetros y es par e igual a , ya que esto asegura la misma probabilidad de muestreo en el espacio de entrada. ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle p / [2 (p-1)]}$

En caso de que los factores de entrada no se distribuyan uniformemente, la mejor práctica es muestrear en el espacio de los cuantiles y obtener los valores de entrada utilizando funciones de distribución acumulativa inversa. Tenga en cuenta que en este caso es igual al paso dado por las entradas en el espacio de los cuantiles. ${\ Displaystyle \ Delta}$

Las dos medidas y se definen como la media y la desviación estándar de la distribución de los efectos elementales de cada entrada: ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle \ mu _ {i} = {\ frac {1} {r}} \ sum _ {j = 1} ^ {r} d_ {i} \ left (X ^ {(j)} \ right)}$ ,

${\ Displaystyle \ sigma _ {i} = {\ sqrt {{\ frac {1} {(r-1)}} \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ left (d_ {i} \ left ( X ^ {(j)} \ derecha) - \ mu _ {i} \ derecha) ^ {2}}}}$ .

Estas dos medidas deben leerse juntas (por ejemplo, en un gráfico bidimensional) para clasificar los factores de entrada en orden de importancia e identificar las entradas que no influyen en la variabilidad de la salida. Los valores bajos de ambos y corresponden a una entrada no influyente. ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Una mejora de este método fue desarrollada por Campolongo et al. quien propuso una medida revisada , que por sí sola es suficiente para proporcionar una clasificación confiable de los factores de entrada. La medida revisada es la media de la distribución de los valores absolutos de los efectos elementales de los factores de entrada: ${\ Displaystyle \ mu ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {i} ^ {*} = {\ frac {1} {r}} \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ left | d_ {i} \ left (X ^ {( j)} \ derecha) \ derecha |}$ .

El uso de resuelve el problema de los efectos de los signos opuestos que ocurre cuando el modelo no es monótono y que pueden anularse entre sí, lo que resulta en un valor bajo de . ${\ Displaystyle \ mu ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mu}$

Un esquema técnico eficiente para construir las trayectorias utilizadas en el método EE se presenta en el artículo original de Morris, mientras que Campolongo et al., Proponen una estrategia de mejora dirigida a explorar mejor el espacio de entrada.

Referencias