Teorema de Darboux (análisis) - Darboux's theorem (analysis)

En matemáticas, el teorema de Darboux es un teorema en análisis real , llamado así por Jean Gaston Darboux . Afirma que toda función que resulta de la diferenciación de otra función tiene la propiedad de valor intermedio : la imagen de un intervalo también es un intervalo.

Cuando f es continuamente diferenciable ( f en C ¹ ([ a , b ])), esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio . Pero incluso cuando ƒ ′ no es continuo, el teorema de Darboux impone una severa restricción a lo que puede ser.

Teorema de darboux

Sea un intervalo cerrado , una función diferenciable de valor real. Entonces tiene la propiedad de valor intermedio : Si y son puntos con , entonces para cada entre y , existe un en tal que . ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f '}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f '(a)}$${\ Displaystyle f '(b)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f '(x) = y}$

Pruebas

Prueba 1. La primera prueba se basa en el teorema del valor extremo .

Si es igual a o , el ajuste igual a o , respectivamente, da el resultado deseado. Ahora suponga que está estrictamente entre y , y en particular eso . Deje tal que . Si es el caso , ajustamos nuestra siguiente prueba, en lugar de afirmar que tiene su mínimo activado . ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f '(a)}$${\ Displaystyle f '(b)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle f '(a)}$${\ Displaystyle f '(b)}$${\ Displaystyle f '(a)> y> f' (b)}$${\ Displaystyle \ varphi \ colon I \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ varphi (t) = f (t) -yt}$${\ Displaystyle f '(a) <y <f' (b)}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle [a, b]}$

Dado que es continuo en el intervalo cerrado , el valor máximo de on se alcanza en algún punto de , de acuerdo con el teorema del valor extremo . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle [a, b]}$

Porque sabemos que no podemos alcanzar su valor máximo en . (Si lo hizo, entonces para todos , lo que implica ). ${\ Displaystyle \ varphi '(a) = f' (a) -y> 0}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle (\ varphi (t) - \ varphi (a)) / (ta) \ leq 0}$${\ Displaystyle t \ in (a, b]}$${\ Displaystyle \ varphi '(a) \ leq 0}$

Del mismo modo, porque sabemos que no puede alcanzar su valor máximo en . ${\ Displaystyle \ varphi '(b) = f' (b) -y <0}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle b}$

Por lo tanto, debe alcanzar su valor máximo en algún momento . Por lo tanto, por el teorema de Fermat , , es decir . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle x \ in (a, b)}$${\ Displaystyle \ varphi '(x) = 0}$${\ Displaystyle f '(x) = y}$

Prueba 2. La segunda prueba se basa en combinar el teorema del valor medio y el teorema del valor intermedio .

Definir . Para definir y . Y para definir y . ${\ Displaystyle c = {\ frac {1} {2}} (a + b)}$${\ Displaystyle a \ leq t \ leq c,}$${\ Displaystyle \ alpha (t) = a}$${\ Displaystyle \ beta (t) = 2t-a}$${\ Displaystyle c \ leq t \ leq b,}$${\ Displaystyle \ alpha (t) = 2t-b}$${\ Displaystyle \ beta (t) = b}$

Así pues, tenemos . Ahora, defina con . es continuo en . ${\ Displaystyle t \ in (a, b)}$${\ Displaystyle a \ leq \ alpha (t) <\ beta (t) \ leq b}$${\ Displaystyle g (t) = {\ frac {(f \ circ \ beta) (t) - (f \ circ \ alpha) (t)} {\ beta (t) - \ alpha (t)}}}$${\ Displaystyle a <t <b}$${\ Displaystyle \, g}$${\ Displaystyle (a, b)}$

Además, cuándo y cuándo ; por lo tanto, del Teorema del valor intermedio, si entonces, existe tal que . Arreglemos . ${\ Displaystyle g (t) \ rightarrow {f} '(a)}$${\ displaystyle t \ rightarrow a}$${\ Displaystyle g (t) \ rightarrow {f} '(b)}$${\ Displaystyle t \ rightarrow b}$${\ Displaystyle y \ in ({f} '(a), {f}' (b))}$${\ Displaystyle t_ {0} \ in (a, b)}$${\ Displaystyle g (t_ {0}) = y}$${\ Displaystyle t_ {0}}$

Del teorema del valor medio, existe un punto tal que . Por lo tanto, . ${\ Displaystyle x \ in (\ alpha (t_ {0}), \ beta (t_ {0}))}$${\ Displaystyle {f} '(x) = g (t_ {0})}$${\ Displaystyle {f} '(x) = y}$

Función Darboux

Una función Darboux es una función real ƒ que tiene la "propiedad valor intermedio": para cualquier par de valores de una y b en el dominio de ƒ , y cualquier y entre ƒ ( una ) y ƒ ( b ), hay una cierta c entre una y b con ƒ ( c ) = y . Según el teorema del valor intermedio , toda función continua en un intervalo real es una función de Darboux. La contribución de Darboux fue mostrar que hay funciones Darboux discontinuas.

Cada discontinuidad de una función de Darboux es esencial , es decir, en cualquier punto de discontinuidad, al menos uno de los límites de la mano izquierda y la derecha no existe.

Un ejemplo de una función de Darboux que es discontinua en un punto es la función de curva sinusoidal del topólogo :

${\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} \ sin (1 / x) & {\ text {for}} x \ neq 0, \\ 0 & {\ text {for}} x = 0. \ end {cases }}}$

Según el teorema de Darboux, la derivada de cualquier función diferenciable es una función de Darboux. En particular, la derivada de la función es una función de Darboux aunque no sea continua en un punto. ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {2} \ sin (1 / x)}$

Un ejemplo de una función de Darboux que no es continua en ninguna parte es la función de base 13 de Conway .

Las funciones de Darboux son una clase de funciones bastante general. Resulta que cualquier función de valor real f en la línea real se puede escribir como la suma de dos funciones de Darboux. Esto implica, en particular, que la clase de funciones de Darboux no se cierra con la adición.

Una función fuertemente Darboux es aquella en la que la imagen de cada intervalo abierto (no vacío) es la línea real completa. La función Conway base 13 es nuevamente un ejemplo.

Notas

enlaces externos

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• "Teorema de Darboux" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]