Conectividad - Connectedness

Este artículo trata sobre matemáticas. Para otros usos, consulte Conectividad (desambiguación) .

En matemáticas , la conexión se usa para referirse a varias propiedades que significan, en cierto sentido, "todo de una pieza". Cuando un objeto matemático tiene tal propiedad, decimos que está conectado ; de lo contrario, se desconecta . Cuando un objeto desconectado se puede dividir de forma natural en piezas conectadas, cada pieza se suele denominar componente (o componente conectado ).

Conectividad en topología

Artículo principal: Espacio conectado

Se dice que un espacio topológico está conectado si no es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . Un conjunto está abierto si no contiene ningún punto situado en su límite ; así, en un sentido intuitivo e informal, el hecho de que un espacio se pueda dividir en conjuntos abiertos disjuntos sugiere que el límite entre los dos conjuntos no es parte del espacio y, por lo tanto, lo divide en dos partes separadas.

Otras nociones de conectividad

Los campos de las matemáticas suelen estar relacionados con tipos especiales de objetos. A menudo, se dice que un objeto de este tipo está conectado si, cuando se considera un espacio topológico, es un espacio conectado. Por lo tanto, las variedades , los grupos de Lie y los gráficos se denominan conectados si están conectados como espacios topológicos y sus componentes son los componentes topológicos. A veces es conveniente reformular la definición de conectividad en tales campos. Por ejemplo, se dice que un gráfico está conectado si cada par de vértices del gráfico está unido por una ruta . Esta definición es equivalente a la topológica aplicada a los gráficos, pero es más fácil de tratar en el contexto de la teoría de grafos . La teoría de grafos también ofrece una medida de conexión sin contexto, llamada coeficiente de agrupamiento .

Otros campos de las matemáticas se ocupan de objetos que rara vez se consideran espacios topológicos. No obstante, las definiciones de conectividad a menudo reflejan el significado topológico de alguna manera. Por ejemplo, en la teoría de categorías , se dice que una categoría está conectada si cada par de objetos en ella está unido por una secuencia de morfismos . Por tanto, una categoría está conectada si es, intuitivamente, una sola pieza.

Puede haber diferentes nociones de conexión que son intuitivamente similares, pero diferentes como conceptos definidos formalmente. Podríamos querer llamar a un espacio topológico conectado si cada par de puntos en él está unido por un camino . Sin embargo, esta condición resulta ser más fuerte que la conexión topológica estándar; en particular, hay espacios topológicos conectados para los cuales esta propiedad no es válida. Debido a esto, se utiliza una terminología diferente; Se dice que los espacios con esta propiedad están conectados por caminos . Si bien no todos los espacios conectados están conectados por caminos, todos los espacios conectados por caminos están conectados.

Los términos relacionados con la conexión también se utilizan para las propiedades que están relacionadas con la conexión, pero que son claramente diferentes de ella. Por ejemplo, un espacio topológico conectado a una ruta simplemente se conecta si cada bucle (ruta desde un punto a sí mismo) en él es contraíble ; es decir, intuitivamente, si hay esencialmente una sola forma de ir de un punto a otro. Por lo tanto, una esfera y un disco están simplemente conectados, mientras que un toro no lo está. Como otro ejemplo, un gráfico dirigido está fuertemente conectado si cada par ordenado de vértices está unido por un camino dirigido (es decir, uno que "sigue las flechas").

Otros conceptos expresan la forma en que un objeto no está conectado. Por ejemplo, un espacio topológico está totalmente desconectado si cada uno de sus componentes es un solo punto.

Conectividad

Artículo principal: Conectividad (teoría de grafos)

Las propiedades y los parámetros basados ​​en la idea de conectividad a menudo involucran la palabra conectividad . Por ejemplo, en teoría de grafos , un grafo conectado es aquel del que debemos eliminar al menos un vértice para crear un grafo desconectado. En reconocimiento de esto, también se dice que tales gráficos están conectados en 1 . De manera similar, un gráfico está conectado en 2 si debemos eliminar al menos dos vértices de él, para crear un gráfico desconectado. Un gráfico de 3 conexiones requiere la eliminación de al menos tres vértices, y así sucesivamente. La conectividad de un gráfico es el número mínimo de vértices que se deben eliminar para desconectarlo. De manera equivalente, la conectividad de una gráfica es el mayor entero k para el cual la gráfica está k conectada.

Si bien la terminología varía, las formas sustantivas de propiedades relacionadas con la conectividad a menudo incluyen el término conectividad . Por lo tanto, cuando se habla de espacios topológicos simplemente conexas, es mucho más común hablar de conectividad sencilla de sencilla conexión . Por otro lado, en campos sin una noción de conectividad definida formalmente , la palabra puede usarse como sinónimo de conectividad .

Otro ejemplo de conectividad se puede encontrar en los mosaicos regulares. Aquí, la conectividad describe la cantidad de vecinos accesibles desde un solo mosaico :

Ver también

Referencias