Cissoide - Cissoid

En geometría , un cissoide es una curva generada a partir de dos curvas determinadas C ₁ , C ₂ y un punto O (el polo ). Sea L una línea variable que pasa por O e interseca C ₁ en P ₁ y C ₂ en P ₂ . Sea P el punto en L de modo que OP = P ₁ P ₂ . (En realidad, hay dos de esos puntos, pero P se elige de modo que P esté en la misma dirección de O que P ₂ de P _1. ) Entonces, el lugar geométrico de tales puntos P se define como el cissoide de las curvas C ₁ , C ₂ con respecto a O .

Diferentes autores utilizan definiciones ligeramente diferentes pero esencialmente equivalentes. Por ejemplo, P puede definirse como el punto de modo que OP = OP ₁ + OP ₂ . Esto es equivalente a la otra definición si C ₁ se sustituye por su reflexión a través de O . O P puede definirse como el punto medio de P ₁ y P ₂ ; esto produce la curva generada por la curva anterior escalada por un factor de 1/2.

La palabra "cissoide" viene del griego : κισσοειδής , lit.  'en forma de hiedra' de κισσός , 'ivy' y -οειδής , 'que tiene la semejanza de'.

Ecuaciones

Si C ₁ y C ₂ se dan en coordenadas polares por y respectivamente, entonces la ecuación describe el cissoide de C ₁ y C _{2 en} relación con el origen. Sin embargo, debido a que un punto puede representarse de múltiples formas en coordenadas polares, puede haber otras ramas del cissoide que tengan una ecuación diferente. Específicamente, C ₁ también viene dado por ${\ Displaystyle r = f_ {1} (\ theta)}$${\ Displaystyle r = f_ {2} (\ theta)}$${\ Displaystyle r = f_ {2} (\ theta) -f_ {1} (\ theta)}$

${\ Displaystyle r = -f_ {1} (\ theta + \ pi), \ r = -f_ {1} (\ theta - \ pi), \ r = f_ {1} (\ theta +2 \ pi), \ r = f_ {1} (\ theta -2 \ pi), \ \ dots}$.

Entonces el cissoide es en realidad la unión de las curvas dadas por las ecuaciones

${\ Displaystyle r = f_ {2} (\ theta) -f_ {1} (\ theta), \ r = f_ {2} (\ theta) + f_ {1} (\ theta + \ pi), \ r = f_ {2} (\ theta) + f_ {1} (\ theta - \ pi), \}$

${\ Displaystyle r = f_ {2} (\ theta) -f_ {1} (\ theta +2 \ pi), \ r = f_ {2} (\ theta) -f_ {1} (\ theta -2 \ pi ), \ \ puntos}$.

Se puede determinar de forma individual en función de los periodos de f ₁ y f ₂ , cuál de estas ecuaciones puede eliminarse por duplicación.

Elipse en rojo, con sus dos ramas cissoides en negro y azul (origen)${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {2- \ cos \ theta}}}$

Por ejemplo, sean C ₁ y C ₂ la elipse

${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {2- \ cos \ theta}}}$.

La primera rama del cissoide está dada por

${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {2- \ cos \ theta}} - {\ frac {1} {2- \ cos \ theta}} = 0}$,

que es simplemente el origen. La elipse también está dada por

${\ Displaystyle r = {\ frac {-1} {2+ \ cos \ theta}}}$,

por lo que una segunda rama del cissoide viene dada por

${\ Displaystyle r = {\ frac {1} {2- \ cos \ theta}} + {\ frac {1} {2+ \ cos \ theta}}}$

que es una curva de forma ovalada.

Si cada C ₁ y C ₂ están dados por las ecuaciones paramétricas

${\ Displaystyle x = f_ {1} (p), \ y = px}$

y

${\ Displaystyle x = f_ {2} (p), \ y = px}$,

entonces el cissoide relativo al origen viene dado por

${\ Displaystyle x = f_ {2} (p) -f_ {1} (p), \ y = px}$.

Casos específicos

Cuando C ₁ es un círculo con centro O, entonces el cissoide es concoide de C ₂ .

Cuando C ₁ y C ₂ son líneas paralelas, entonces el cissoide es una tercera línea paralela a las líneas dadas.

Hipérbolas

Sean C ₁ y C ₂ dos rectas no paralelas y sea O el origen. Que las ecuaciones polares de C ₁ y C ₂ be

${\ Displaystyle r = {\ frac {a_ {1}} {\ cos (\ theta - \ alpha _ {1})}}}$

y

${\ Displaystyle r = {\ frac {a_ {2}} {\ cos (\ theta - \ alpha _ {2})}}}$.

Por rotación a través del ángulo , podemos asumir eso . Entonces el cissoide de C ₁ y C ₂ relativo al origen está dado por ${\ Displaystyle (\ alpha _ {1} - \ alpha 2) / 2}$${\ Displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha, \ \ alpha _ {2} = - \ alpha}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {a_ {2}} {\ cos (\ theta + \ alpha)}} - {\ frac {a_ {1}} {\ cos (\ theta - \ alpha)}}}$

${\ Displaystyle = {\ frac {a_ {2} \ cos (\ theta - \ alpha) -a_ {1} \ cos (\ theta + \ alpha)} {\ cos (\ theta + \ alpha) \ cos (\ theta - \ alpha)}}}$

${\ Displaystyle = {\ frac {(a_ {2} \ cos \ alpha -a_ {1} \ cos \ alpha) \ cos \ theta - (a_ {2} \ sin \ alpha + a_ {1} \ sin \ alpha ) \ sin \ theta} {\ cos ^ {2} \ alpha \ \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ alpha \ \ sin ^ {2} \ theta}}}$.

La combinación de constantes da

${\ Displaystyle r = {\ frac {b \ cos \ theta + c \ sin \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta -m ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}$

que en coordenadas cartesianas es

${\ Displaystyle x ^ {2} -m ^ {2} y ^ {2} = bx + cy}$.

Esta es una hipérbola que pasa por el origen. Entonces, el cissoide de dos líneas no paralelas es una hipérbola que contiene el polo. Una derivación similar muestra que, a la inversa, cualquier hipérbola es el cissoide de dos líneas no paralelas en relación con cualquier punto de ella.

Cisoides de Zahradnik

Un cissoide de Zahradnik (llamado así por Karel Zahradnik ) se define como el cissoide de una sección cónica y una línea relativa a cualquier punto de la cónica. Se trata de una amplia familia de curvas cúbicas racionales que contiene varios ejemplos bien conocidos. Específicamente:

• La Trisectrix de Maclaurin dada por

${\ Displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2})}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen.${\ Displaystyle (x + a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$${\ Displaystyle x = {- {a \ over 2}}}$

• El estrofoide correcto

${\ Displaystyle y ^ {2} (a + x) = x ^ {2} (ax)}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen.${\ Displaystyle (x + a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$${\ Displaystyle x = -a}$

• El cisoide de Diocles

${\ Displaystyle x (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2ay ^ {2} = 0}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen. Esta es, de hecho, la curva que da nombre a la familia y algunos autores se refieren a ella simplemente como cissoide.${\ Displaystyle (x + a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$${\ Displaystyle x = -2a}$

• El cissoide del círculo y la línea , donde k es un parámetro, se llama concoide de de Sluze . (Estas curvas no son en realidad concoides). Esta familia incluye los ejemplos anteriores.${\ Displaystyle (x + a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$${\ Displaystyle x = ka}$
• El folio de Descartes

${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 3axy}$

es el cissoide de la elipse y la línea relativa al origen. Para ver esto, tenga en cuenta que la línea se puede escribir ${\ Displaystyle x ^ {2} -xy + y ^ {2} = - a (x + y)}$${\ Displaystyle x + y = -a}$

${\ Displaystyle x = - {\ frac {a} {1 + p}}, \ y = px}$

y la elipse se puede escribir

${\ Displaystyle x = - {\ frac {a (1 + p)} {1-p + p ^ {2}}}, \ y = px}$.

Entonces el cissoide viene dado por

${\ Displaystyle x = - {\ frac {a} {1 + p}} + {\ frac {a (1 + p)} {1-p + p ^ {2}}} = {\ frac {3ap} { 1 + p ^ {3}}}, \ y = px}$

que es una forma paramétrica del folio.

Ver también

• Concoide
• Estrófoide

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs.  53–56 . ISBN 0-486-60288-5.
• CA Nelson "Nota sobre cúbicos planos racionales" Bull. Amer. Matemáticas. Soc. Volumen 32, Número 1 (1926), 71-76.

enlaces externos

• "Cissoid" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cissoid" . MathWorld .
• Curvas 2D