Curva algebraica circular - Circular algebraic curve
En geometría , una curva algebraica circular es un tipo de curva algebraica plana determinada por una ecuación F ( x , y ) = 0, donde F es un polinomio con coeficientes reales y los términos de orden más alto de F forman un polinomio divisible por x 2 + y 2 . Más precisamente, si F = F n + F n −1 + ... + F 1 + F 0 , donde cada F i es homogénea de grado i , entonces la curva F ( x , y ) = 0 es circular si y solo si F n es divisible por x 2 + y 2 .
De manera equivalente, si la curva está determinada en coordenadas homogéneas por G ( x , y , z ) = 0, donde G es un polinomio homogéneo, entonces la curva es circular si y solo si G (1, i , 0) = G (1 , - i , 0) = 0. En otras palabras, la curva es circular si contiene los puntos circulares en el infinito , (1, i , 0) y (1, - i , 0), cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo .
Curvas algebraicas multicirculares
Una curva algebraica se llama p -circular si contiene los puntos (1, i , 0) y (1, - i , 0) cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo, y estos puntos son singularidades de orden al menos p . Los términos bicircular , tricircular , etc. se aplican cuando p = 2, 3, etc. En términos del polinomio F dado anteriormente, la curva F ( x , y ) = 0 es p -circular si F n - i es divisible por ( x 2 + y 2 ) p - i cuando i < p . Cuando p = 1, esto se reduce a la definición de una curva circular. El conjunto de curvas p -circulares es invariante bajo transformaciones euclidianas . Tenga en cuenta que una curva p -circular debe tener un grado de al menos 2 p .
El conjunto de p -curvas circulares de grado p + k , donde p puede variar pero k es un entero positivo fijo, es invariante bajo inversión . Cuando k es 1, esto dice que el conjunto de líneas (curvas circulares 0 de grado 1) junto con el conjunto de círculos (curvas circulares 1 de grado 2) forman un conjunto que es invariante bajo inversión.
Ejemplos
- El círculo es la única cónica circular.
- Las concoides de de Sluze (que incluyen varias curvas cúbicas conocidas) son cúbicas circulares.
- Los óvalos de Cassini (incluida la lemniscata de Bernoulli ), las secciones tóricas y las limaçons (incluido el cardioide ) son cuarticos bicirculares.
- La curva de Watt es una sextica tricircular.