Limaçon - Limaçon

Construcción del limaçon con origen de coordenadas polares en ( x , y ) = (1/2, 0)

En geometría , un limaçon o limaçon / l ɪ m ə s ɒ n / , también conocido como un limaçon de Pascal , se define como una ruleta formado por la trayectoria de un punto fijo a un círculo cuando que rueda círculo alrededor de la parte exterior de un círculo de igual radio. También se puede definir como la ruleta que se forma cuando un círculo rueda alrededor de un círculo con la mitad de su radio, de modo que el círculo más pequeño está dentro del círculo más grande. Por tanto, pertenecen a la familia de curvas denominadas trocoides centradas ; más específicamente, son epitrocoides . El cardioide es el caso especial en el que el punto que genera la ruleta se encuentra en el círculo rodante; la curva resultante tiene una cúspide .

Dependiendo de la posición del punto que genera la curva, puede tener bucles internos y externos (que dan su nombre a la familia), puede tener forma de corazón o puede ser ovalada.

Un limaçon es una curva algebraica de plano racional bicircular de grado 4.

Tres limaçons: con hoyuelos, con cúspide (un cardioide ) y en forma de bucle. No se muestra: el limaçon convexo

Historia

La investigación formal más temprana sobre limaçons generalmente se atribuye a Étienne Pascal , padre de Blaise Pascal . Sin embargo, el artista renacentista alemán Alberto Durero había realizado algunas investigaciones profundas sobre ellos . La Underweysung der Messung (Instrucción de medición) de Durero contiene métodos geométricos específicos para producir limaçons. La curva fue nombrada por Gilles de Roberval cuando la usó como ejemplo para encontrar líneas tangentes.

Ecuaciones

La ecuación (hasta traslación y rotación) de un limaçon en coordenadas polares tiene la forma

Esto se puede convertir a coordenadas cartesianas multiplicando por r (introduciendo así un punto en el origen que en algunos casos es falso), y sustituyendo y para obtener

Aplicando la forma paramétrica de la conversión polar a cartesiana, también tenemos

mientras configura

produce esta parametrización como una curva en el plano complejo :

Si tuviéramos que cambiar horizontalmente por , es decir,

,

al cambiar la ubicación del origen, convertiríamos a la forma habitual de la ecuación de un trocoide centrado. Tenga en cuenta el cambio de la variable independiente en este punto para dejar claro que ya no estamos usando la parametrización de coordenadas polares predeterminada .

Casos especiales

En el caso especial , la ecuación polar es

o

haciéndolo miembro de la familia de curvas espirales sinusoidales . Esta curva es la cardioide .

En el caso especial , la forma trocoide centrada de la ecuación se convierte en

o, en coordenadas polares,

haciéndolo un miembro de la familia de las curvas de las rosas . Esta curva es una trisectriz y, a veces, se le llama limaçon trisectrix .

Formulario

Cuando , el limaçon es una simple curva cerrada. Sin embargo, el origen satisface la ecuación cartesiana dada anteriormente, por lo que la gráfica de esta ecuación tiene un nodo o punto aislado.

Cuando , el área delimitada por la curva es convexa, y cuando , la curva tiene una sangría limitada por dos puntos de inflexión . En , el punto es un punto de curvatura 0 .

A medida que disminuye en relación con , la sangría se vuelve más pronunciada hasta que, en , la curva se vuelve cardioide y la sangría se convierte en una cúspide . Porque , la cúspide se expande a un bucle interno y la curva se cruza en el origen. A medida que se acerca a 0, el bucle llena la curva exterior y, en el límite, el limaçon se convierte en un círculo atravesado dos veces.

Medición

El área delimitada por el limaçon es . Cuando esto cuenta el área encerrada por el bucle interior dos veces. En este caso, la curva cruza el origen en ángulos , el área encerrada por el bucle interior es

el área encerrada por el bucle exterior es

y el área entre los bucles es

La circunferencia del limaçon viene dada por una integral elíptica completa del segundo tipo :

Relación con otras curvas

  • Sea un punto y sea ​​un círculo cuyo centro no lo es . Entonces, la envoltura de esos círculos cuyo centro se encuentra y que atraviesan es un limaçon.
Limaçon - Pedal curva de un círculo
  • Un pedal de un círculo es un limaçon. De hecho, el pedal con respecto al origen del círculo con radio y centro tiene ecuación polar .
  • La inversa con respecto al círculo unitario de es
que es la ecuación de una sección cónica con excentricidad y foco en el origen. Así, una limaçon puede definirse como la inversa de una cónica donde el centro de inversión es uno de los focos. Si la cónica es una parábola, entonces la inversa será un cardioide, si la cónica es una hipérbola, entonces la limaçon correspondiente tendrá un bucle interno, y si la cónica es una elipse, entonces la limaçon correspondiente no tendrá bucle.
  • La concoide de un círculo con respecto a un punto del círculo es un limaçon.

Ver también

Referencias

  1. a b J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs.  113-118 . ISBN   0-486-60288-5 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Limaçon". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram.
  3. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "óvalo cartesiano" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews .

Otras lecturas

  • Jane Grossman y Michael Grossman. "Hoyuelo o no hoyuelo" , The Two-Year College Mathematics Journal , enero de 1982, páginas 52–55.
  • Howard Anton. Cálculo , 2da edición, página 708, John Wiley & Sons, 1984.
  • Howard Anton. [1] págs. 725 - 726.
  • Howard Eves. A Survey of Geometry , Volumen 2 (páginas 51, 56, 273), Allyn y Bacon, 1965.

enlaces externos