Problema de identificación de Benacerraf - Benacerraf's identification problem

En la filosofía de las matemáticas , el problema de identificación de Benacerraf es un argumento filosófico desarrollado por Paul Benacerraf contra el platonismo de la teoría de conjuntos y publicado en 1965 en un artículo titulado "Lo que los números no podrían ser". Históricamente, el trabajo se convirtió en un catalizador significativo para motivar el desarrollo del estructuralismo matemático .

El problema de identificación sostiene que existe un problema fundamental en la reducción de números naturales a conjuntos puros . Dado que existe un número infinito de formas de identificar los números naturales con conjuntos puros, ningún método particular de teoría de conjuntos puede determinarse como la reducción "verdadera". Benacerraf infiere que cualquier intento de hacer tal elección de reducción resulta inmediatamente en la generación de una falsedad de la teoría de conjuntos de meta-nivel, es decir, en relación con otras teorías de conjuntos elementalmente equivalentes que no son idénticas a la elegida. El problema de identificación sostiene que esto crea un problema fundamental para el platonismo, que sostiene que los objetos matemáticos tienen una existencia real y abstracta. El dilema de Benacerraf con la teoría de conjuntos platónica es argumentar que el intento platónico de identificar la reducción "verdadera" de números naturales a conjuntos puros, como reveladora de las propiedades intrínsecas de estos objetos matemáticos abstractos, es imposible. Como resultado, el problema de la identificación finalmente sostiene que la relación de la teoría de conjuntos con los números naturales no puede tener una naturaleza ontológicamente platónica.

Motivaciones históricas

La motivación histórica para el desarrollo del problema de identificación de Benacerraf deriva de un problema fundamental de ontología. Desde la época medieval , los filósofos han discutido si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que: (1) existe independientemente de la mente; (2) existe independientemente del mundo empírico; y (3) tiene propiedades eternas e inmutables. El platonismo matemático tradicional sostiene que algún conjunto de elementos matemáticos —números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas— son tales objetos abstractos. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.

A finales del siglo XIX y principios del XX, una serie de programas antiplatónicos ganaron popularidad. Estos incluyeron intuicionismo , formalismo y predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas tenían sus propios problemas. Posteriormente, esto resultó en un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico donde se desarrollaron las motivaciones del problema de identificación.

Descripción

El problema de identificación comienza por evidenciar algún conjunto de modelos teóricos de conjuntos elementalmente equivalentes de los números naturales. Benacerraf considera dos de estos métodos de teoría de conjuntos:

Método de teoría de conjuntos I (usando ordinales de Zermelo )
0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {1} = {{∅}}
3 = {2} = {{{∅}}}
...
Método de teoría de conjuntos II (utilizando ordinales de von Neumann )
0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
...

Como demuestra Benacerraf, tanto el método I como el II reducen los números naturales a conjuntos. Benacerraf formula el dilema como una pregunta: ¿cuál de estos métodos de teoría de conjuntos proporciona de manera única los enunciados de identidad verdaderos, lo que aclara la verdadera naturaleza ontológica de los números naturales? Cualquiera de los métodos I o II podrían usarse para definir los números naturales y posteriormente generar declaraciones aritméticas verdaderas para formar un sistema matemático. En su relación, los elementos de tales sistemas matemáticos son isomorfos en su estructura. Sin embargo, el problema surge cuando estas estructuras isomorfas se relacionan entre sí en el meta-nivel. Las definiciones y los enunciados aritméticos del sistema I no son idénticas a las definiciones y los enunciados aritméticos del sistema II. Por ejemplo, los dos sistemas difieren en su respuesta a si 0 ∈ 2, en la medida en que ∅ no es un elemento de {{∅}}. Por lo tanto, en términos de fallar en la transitividad de la identidad , la búsqueda de enunciados de identidad verdaderos también falla. Al intentar reducir los números naturales a conjuntos, se produce una falsedad de la teoría de conjuntos entre las estructuras isomórficas de diferentes sistemas matemáticos. Ésta es la esencia del problema de identificación.

Según Benacerraf, las ramificaciones filosóficas de este problema de identificación hacen que los enfoques platónicos no superen la prueba ontológica. El argumento se utiliza para demostrar la imposibilidad del platonismo de reducir los números a conjuntos y revelar la existencia de objetos abstractos.

Ver también

Referencias

Bibliografía

  • Benacerraf, Paul (1973) "Mathematical Truth", en Benacerraf & Putnam Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2ª edición. 1983, págs. 403–420.
  • Hale, Bob (1987) Objetos abstractos . Oxford: Basil Blackwell. ISBN   0631145931