Variables Ashtekar - Ashtekar variables

En la formulación ADM de la relatividad general , el espacio-tiempo se divide en porciones espaciales y un eje de tiempo. Las variables básicas se toman como la métrica inducida en el corte espacial y el momento conjugado de la métrica , que está relacionada con la curvatura extrínseca y es una medida de cómo la métrica inducida evoluciona en el tiempo. Estas son las coordenadas métricas canónicas . ${\ Displaystyle q_ {ab} (x)}$${\ Displaystyle K ^ {ab} (x)}$

En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, Ashtekar ( nuevas ) variables para representar una forma inusual de reescribir las variables métricas canónicas en los cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibre SU (2) y su variable complementaria.

Visión general

Las variables de Ashtekar proporcionan lo que se llama la representación de conexión de la relatividad general canónica, lo que llevó a la representación de bucle de la relatividad general cuántica y, a su vez, la gravedad cuántica de bucle y la teoría de holonomía cuántica .

Introduzcamos un conjunto de tres campos vectoriales , que son ortogonales, es decir, ${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle i = 1,2,3}$

${\ Displaystyle \ delta _ {ij} = q_ {ab} E_ {i} ^ {a} E_ {j} ^ {b}}$.

Se llaman tríada o drei-bein (traducción literal al alemán, "tres patas"). Ahora hay dos tipos diferentes de índices, índices "espaciales" que se comportan como índices regulares en un espacio curvo, e índices "internos" que se comportan como índices de espacio plano (la "métrica" ​​correspondiente que aumenta y disminuye los índices internos es simplemente ). Defina el drei-bein dual como ${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle i, j, k}$${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ Displaystyle E_ {a} ^ {i}}$

${\ Displaystyle E_ {a} ^ {i} = q_ {ab} E_ {i} ^ {b}}$.

Entonces tenemos las dos relaciones de ortogonalidad

${\ Displaystyle \ delta ^ {ij} = q ^ {ab} E_ {a} ^ {i} E_ {b} ^ {j}}$

donde es la matriz inversa de la métrica (esto proviene de sustituir la fórmula del drei-bein dual en términos del drei-bein en y usando la ortogonalidad de los drei-bein). ${\ Displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle q_ {ab}}$${\ Displaystyle q ^ {ab} E_ {a} ^ {i} E_ {b} ^ {j}}$

y

${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a} E_ {b} ^ {i} = \ delta _ {b} ^ {a}}$

(esto viene a cuento de contraer con y utilizando la independencia lineal de la ). Entonces es fácil verificar a partir de la primera relación de ortogonalidad (empleando ) que ${\ Displaystyle \ delta _ {ij} = q_ {ab} E_ {j} ^ {b} E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle E_ {c} ^ {i}}$${\ Displaystyle E_ {a} ^ {j}}$${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a} E_ {b} ^ {i} = \ delta _ {b} ^ {a}}$

${\ Displaystyle q ^ {ab} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} \ delta _ {ij} E_ {i} ^ {a} E_ {j} ^ {b} = \ sum _ { i = 1} ^ {3} E_ {i} ^ {a} E_ {i} ^ {b},}$

hemos obtenido una fórmula para la métrica inversa en términos de los drei-beins - los drei-beins pueden considerarse como la "raíz cuadrada" de la métrica (el significado físico de esto es que la métrica , cuando se escribe en términos de una base , es localmente plano). En realidad, lo que realmente se considera es ${\ Displaystyle q ^ {ab}}$${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a}}$

${\ Displaystyle (\ mathrm {det} (q)) q ^ {ab} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde { E}} _ {i} ^ {b},}$,

que involucra el drei-bein densitizado en su lugar (densitized as ). Se recupera del tiempo métrico un factor dado por su determinante. Está claro que y contienen la misma información, simplemente reorganizada. Ahora bien, la elección de no es única y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos sin cambiar la métrica (inversa). Este es el origen de la invariancia de calibre. Ahora, si uno va a operar con objetos que tienen índices internos, es necesario introducir una derivada apropiada ( derivada covariante ), por ejemplo, la derivada covariante para el objeto será ${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle SU (2)}$${\ Displaystyle V_ {i} ^ {b}}$

${\ Displaystyle D_ {a} V_ {i} ^ {b} = \ parcial _ {a} V_ {i} ^ {b} - \ Gamma _ {a \; \; i} ^ {\; \; j} V_ {j} ^ {b} + \ Gamma _ {ac} ^ {b} V_ {i} ^ {c}}$

donde está la conexión habitual Levi-Civita y es la llamada conexión spin . Tomemos la variable de configuración como ${\ Displaystyle \ Gamma _ {ac} ^ {b}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {a \; \; i} ^ {\; \; j}}$

${\ Displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} + \ beta K_ {a} ^ {i}}$

donde y . El drei-bein densitizado es la variable de momento conjugado de este campo de calibre tridimensional SU (2) (o conexión) , en el sentido de que satisface la relación de soporte de Poisson ${\ Displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {ajk} \ epsilon ^ {jki}}$${\ Displaystyle K_ {a} ^ {i} = K_ {ab} {\ tilde {E}} ^ {bi} / {\ sqrt {\ det (q)}}}$${\ Displaystyle A_ {b} ^ {j}}$

${\ Displaystyle \ {{\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} (x), A_ {b} ^ {j} (y) \} = 8 \ pi G _ {\ mathrm {Newton}} \ beta \ delta _ {b} ^ {a} \ delta _ {i} ^ {j} \ delta ^ {3} (xy)}$.

La constante es el parámetro de Immirzi , un factor que renormaliza la constante de Newton . El drei-bein densitizado se puede usar para reconstruir la métrica como se discutió anteriormente y la conexión se puede usar para reconstruir la curvatura extrínseca. Las variables de Ashtekar corresponden a la elección (el negativo del número imaginario ), luego se llama conexión de espín quiral. La razón de esta elección de conexión de espín fue que Ashtekar podía simplificar mucho la ecuación más problemática de la relatividad general canónica, a saber, la restricción hamiltoniana de LQG ; esta elección hizo desaparecer su segundo, formidable, término y el término restante se convirtió en polinomio en sus nuevas variables. Esto generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. Sin embargo, presentó ciertas dificultades. Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas. Cuando se cuantifica la teoría, es una tarea difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. También la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar fue la versión densitizada en lugar de la hamiltoniana original, es decir, con la que trabajó . Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico . Fue Thomas Thiemann quien pudo utilizar la generalización del formalismo de Ashtekar en conexiones reales ( toma valores reales) y, en particular, ideó una forma de simplificar el hamiltoniano original, junto con el segundo término, en 1996. También pudo promover este Restricción hamiltoniana a un operador cuántico bien definido dentro de la representación del bucle. ${\ Displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle G _ {\ mathrm {Newton}}}$${\ Displaystyle \ beta = -i}$${\ Displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ Displaystyle {\ tilde {H}} = {\ sqrt {\ det (q)}} H}$${\ Displaystyle \ beta}$

Lee Smolin y Ted Jacobson, y Joseph Samuel, de forma independiente, descubrieron que, de hecho, existe una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación auto-dual del principio de acción tetrádico de Palatini de la relatividad general. Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg dio una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux et al.

Referencias

Otras lecturas

• Ashtekar, Abhay (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18): 2244–2247. Código Bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.57.2244 . PMID  10033673 .