Número aritmético - Arithmetic number

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la naturaleza aritmética del número 6

En teoría de números , un número aritmético es un número entero para el cual el promedio de sus divisores positivos también es un número entero. Por ejemplo, 6 es un número aritmético porque el promedio de sus divisores es

${\ Displaystyle {\ frac {1 + 2 + 3 + 6} {4}} = 3,}$

que también es un número entero. Sin embargo, 2 no es un número aritmético porque sus únicos divisores son 1 y 2, y su promedio 3/2 no es un número entero.

Los primeros números en la secuencia de números aritméticos son

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (secuencia A003601 en la OEIS ).

Densidad

Se sabe que la densidad natural de tales números es 1: de hecho, la proporción de números menores que X que no son aritméticos es asintóticamente

${\ Displaystyle \ exp \ left ({- c {\ sqrt {\ log \ log X}}} \ right)}$

donde c = 2 √ log 2 + o (1).

Un número N es aritmético si el número de divisores d ( N ) divide la suma de los divisores σ ( N ). Se sabe que la densidad de números enteros N que obedecen a la condición más fuerte de que d ( N ) ² divide a σ ( N ) es 1/2.

Notas

Referencias

• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001 .