Adecuación - Adequality

Adequality es una técnica desarrollada por Pierre de Fermat en su tratado Methodus ad disquirendam maximam et minimam (un tratado latino circulado en Francia c. 1636) para calcular máximos y mínimos de funciones, tangentes a curvas, área , centro de masa , mínima acción , y otros problemas de cálculo . Según André Weil , Fermat "introduce el término técnico adaequalitas, adaequare, etc., que dice haber tomado prestado de Diofanto . Como muestra Diofanto V.11, significa una igualdad aproximada, y así es como Fermat explica la palabra en uno de sus escritos posteriores ". (Weil 1973). Diofanto acuñó la palabra παρισότης ( parisotēs ) para referirse a una igualdad aproximada. Claude Gaspard Bachet de Méziriac tradujo la palabra griega de Diofanto al latín como adaequalitas . La traducción francesa de Paul Tannery de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos usaba las palabras adéquation y adégaler .

El método de Fermat

Fermat utilizó la calidad primero para encontrar máximos de funciones y luego la adaptó para encontrar líneas tangentes a curvas.

Para encontrar el máximo de un término , Fermat equiparó (o más precisamente adecuó) y, después de hacer álgebra, pudo cancelar un factor de y luego descartar cualquier término restante que involucre Para ilustrar el método con el propio ejemplo de Fermat, considere el problema de encontrar el máximo de (palabras de en Fermat, es para dividir una línea de longitud en un punto , de manera que el producto de las dos partes resultantes sea un máximo.) Fermat adequated con . Es decir (usando la notación para denotar una calidad, introducida por Paul Tannery ): ${\ Displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle p (x)}$${\ Displaystyle p (x + e)}$${\ Displaystyle e,}$${\ Displaystyle e.}$${\ Displaystyle p (x) = bx-x ^ {2}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle bx-x ^ {2}}$${\ Displaystyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}}$${\ Displaystyle \ backsim}$

${\ Displaystyle bx-x ^ {2} \ backsim bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}.}$

Anulando plazos y dividiendo por Fermat llegó a ${\ Displaystyle e}$

${\ Displaystyle b \ backsim 2x + e.}$

Eliminando los términos que contenían Fermat se llegó al resultado deseado en el que se produjo el máximo cuando . ${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle x = b / 2}$

Fermat también usó su principio para dar una derivación matemática de las leyes de refracción de Snell directamente del principio de que la luz toma el camino más rápido.

La crítica de Descartes

El método de Fermat fue muy criticado por sus contemporáneos, en particular por Descartes . Victor Katz sugiere que esto se debe a que Descartes había descubierto de forma independiente las mismas nuevas matemáticas, conocidas como su método de las normales , y Descartes estaba bastante orgulloso de su descubrimiento. Katz también señala que mientras los métodos de Fermat estaban más cerca de los desarrollos futuros en cálculo, los métodos de Descartes tuvieron un impacto más inmediato en el desarrollo.

Controversia académica

Tanto Newton como Leibniz se refirieron al trabajo de Fermat como un antecedente del cálculo infinitesimal . Sin embargo, existe un desacuerdo entre los estudiosos modernos sobre el significado exacto de la adecuación de Fermat. La idoneidad de Fermat se analizó en varios estudios académicos. En 1896, Paul Tannery publicó una traducción al francés de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos (Fermat, Œuvres, Vol. III, págs. 121-156). Tannery tradujo el término de Fermat como "adégaler" y adoptó la "adéquation" de Fermat. La curtiduría también introdujo el símbolo de la calidad en las fórmulas matemáticas. ${\ Displaystyle \ backsim}$

Heinrich Wieleitner (1929) escribió:

Fermat reemplaza Una con un + E . Luego se establece la nueva expresión más o menos igual ( angenähert Gleich ) a la anterior, cancela igualdad de condiciones a ambos lados, y se divide por la potencia más alta posible de E . Luego cancela todos los términos que contienen E y establece los que permanecen iguales entre sí. De eso [el requerido] A resulta. Que E debería ser lo más pequeño posible no se dice en ninguna parte y, en el mejor de los casos, se expresa con la palabra "adaequalitas".

(Wieleitner usa el símbolo ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sim}$

Max Miller (1934) escribió:

A continuación, se deben poner ambos términos, que expresan el máximo y el mínimo, aproximadamente iguales ( näherungsweise gleich ), como dice Diofanto.

(Miller usa el símbolo ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Jean Itard (1948) escribió:

Se sabe que la expresión "adégaler" es adoptada por Fermat de Diofanto, traducida por Xylander y por Bachet. Se trata de una igualdad aproximada ( égalité aproximada ) ".

(Itard usa el símbolo ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ backsim}$

Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) escribió:

Fermat elige una cantidad h , considerada suficientemente pequeña, y pone f ( x  +  h ) aproximadamente igual ( ungefähr gleich ) af ( x ). Su término técnico es adaequare .

(Hofmann usa el símbolo ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Peer Strømholm (1968) escribió:

La base del enfoque de Fermat fue la comparación de dos expresiones que, aunque tenían la misma forma, no eran exactamente iguales . A esta parte del proceso la llamó " comparare par adaequalitatem " o " comparer per adaequalitatem ", e implicaba que la identidad, por lo demás estricta, entre los dos lados de la "ecuación" fue destruida por la modificación de la variable en una pequeña cantidad:

${\ Displaystyle \ scriptstyle f (A) {\ sim} f (A + E)}$ .

Este, creo, fue el significado real de su uso del πἀρισον de Diophantos, enfatizando la pequeñez de la variación. La traducción ordinaria de 'adaequalitas' parece ser " igualdad aproximada ", pero prefiero " pseudoigualdad " a presentar el pensamiento de Fermat en este punto.

Señala además que "nunca en M1 (Método 1) se planteó la posibilidad de que la variación E fuera igual a cero. Las palabras que utilizó Fermat para expresar el proceso de supresión de términos que contenían E fueron 'elido', 'deleo' y ' expungo ', y en francés' i'efface 'y' i'ôte '. Difícilmente podemos creer que un hombre cuerdo que desee expresar su significado y busque palabras, encuentre constantemente formas tan tortuosas de impartir el simple hecho de que el términos desaparecieron porque E era cero. (p. 51) Claus Jensen (1969) escribió:

Además, al aplicar la noción de adégalité , que constituye la base del método general de Fermat para construir tangentes, y por el cual se entiende una comparación de dos magnitudes como si fueran iguales, aunque de hecho no lo son ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint ") - Emplearé el símbolo más habitual hoy en día . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

La cita en latín proviene de la edición de Fermat de 1891 de Tannery, volumen 1, página 140. Michael Sean Mahoney (1971) escribió:

El método de máximos y mínimos de Fermat, que es claramente aplicable a cualquier polinomio P (x) , se basaba originalmente en fundamentos algebraicos puramente finitistas . Supuso, contrafácticamente , la desigualdad de dos raíces iguales para determinar, mediante la teoría de ecuaciones de Viete, una relación entre esas raíces y uno de los coeficientes del polinomio, una relación que era completamente general. Esta relación condujo luego a una solución de valor extremo cuando Fermat eliminó su supuesto contrafáctico e igualó las raíces. Tomando prestado un término de Diofanto, Fermat llamó a esta igualdad contrafactual "adecuación".

(Mahoney usa el símbolo ). En la p. 164, final de la nota al pie 46, Mahoney señala que uno de los significados de adecuación es igualdad aproximada o igualdad en el caso límite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) escribió: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Por ejemplo, para determinar cómo subdividir un segmento de longitud en dos segmentos y cuyo producto es máximo, es decir, encontrar el rectángulo de perímetro que tiene el área máxima, [Fermat] procede de la siguiente manera. Primero lo sustituyó ${\ Displaystyle \ scriptstyle b}$${\ Displaystyle \ scriptstyle x}$${\ Displaystyle \ scriptstyle bx}$${\ Displaystyle \ scriptstyle x (bx) = bx-x ^ {2}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle 2b}$${\ Displaystyle \ scriptstyle x + e}$

(usó A , E en lugar de x , e ) para la x desconocida , y luego escribió la siguiente "pseudoigualdad" para comparar la expresión resultante con la original:

${\ Displaystyle \ scriptstyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx + be-x ^ {2} -2xe-e ^ {2} \; \ sim \; bx-x ^ { 2}.}$

Después de cancelar los términos, dividió entre e para obtener. Finalmente, descartó el término restante que contenía e , transformando la pseudoigualdad en la verdadera igualdad que da el valor de x que hace máxima. Desafortunadamente, Fermat nunca explicó la base lógica de este método con suficiente claridad o completitud para evitar desacuerdos entre eruditos históricos en cuanto a lo que quiso decir o pretendía precisamente ". ${\ Displaystyle \ scriptstyle b-2 \, xe \; \ sim \; 0.}$${\ Displaystyle \ scriptstyle x = {\ frac {b} {2}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle bx-x ^ {2}}$

Kirsti Andersen (1980) escribió:

Las dos expresiones del máximo o mínimo se hacen "iguales" , lo que significa algo así como lo más casi igual posible .

(Andersen usa el símbolo ). Herbert Breger (1994) escribió: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Quiero presentar mi hipótesis: Fermat usó la palabra "adaequare" en el sentido de "poner igual" ... En un contexto matemático, la única diferencia entre "aequare" y "adaequare" parece ser que este último da más énfasis en el hecho de que se logra la igualdad.

(Página 197 y sig.) John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) escribió:

Fermat introdujo la idea de la calidad en la década de 1630, pero se adelantó a su tiempo. Sus sucesores no estaban dispuestos a renunciar a la conveniencia de las ecuaciones ordinarias, prefiriendo utilizar la igualdad de forma laxa en lugar de utilizar la adecuación con precisión. La idea de la adecuación se revivió solo en el siglo XX, en el llamado análisis no estándar .

Enrico Giusti (2009) cita la carta de Fermat a Marin Mersenne donde Fermat escribió:

Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question "(" Esta comparación por adecuación produce dos términos desiguales que finalmente producen la igualdad (siguiendo mi método) que da nosotros la solución del problema ") ..

Giusti señala en una nota a pie de página que esta carta parece haber escapado a la atención de Breger.

Klaus Barner (2011) afirma que Fermat usa dos palabras latinas diferentes (aequabitur y adaequabitur) para reemplazar el signo igual habitual hoy en día, aequabitur cuando la ecuación se refiere a una identidad válida entre dos constantes, una fórmula universalmente válida (probada) o una ecuación condicional. , adaequabitur , sin embargo, cuando la ecuación describe una relación entre dos variables, que no son independientes (y la ecuación no es una fórmula válida). En la página 36, ​​Barner escribe: "¿Por qué Fermat repetía continuamente su procedimiento inconsistente para todos sus ejemplos para el método de las tangentes? ¿Por qué nunca mencionó la secante, con la que de hecho operaba? No lo sé".

Katz, Schaps, Shnider (2013) sostienen que la aplicación de Fermat de la técnica a curvas trascendentales como la cicloide muestra que la técnica de adecuación de Fermat va más allá de un algoritmo puramente algebraico y que, contrariamente a la interpretación de Breger, los términos técnicos parisotes tal como los usa Diofanto y adaequalitas, tal como los usa Fermat, significan "igualdad aproximada". Desarrollan una formalización de la técnica de adecuación de Fermat en las matemáticas modernas como la función de parte estándar que redondea un número hiperreal finito a su número real más cercano .

Ver también

• Principio de Fermat
• Ley trascendental de homogeneidad

Referencias

Bibliografía

• Breger, H. (1994) "Los misterios de adaequare: una reivindicación de Fermat", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 46 (3): 193-219.
• Edwards, CH Jr. (1994), El desarrollo histórico del cálculo , Springer
• Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
• Grabiner, Judith V. (septiembre de 1983), "The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass" , Mathematics Magazine , 56 (4): 195-206, doi : 10.2307 / 2689807 , JSTOR   2689807
• Katz, V. (2008), A History of Mathematics: An Introduction , Addison Wesley
• Stillwell, J. (2006) Anhelo de lo imposible. Las sorprendentes verdades de las matemáticas , página 91, AK Peters, Ltd. , Wellesley, MA.
• Weil, A. , Reseña del libro: La carrera matemática de Pierre de Fermat. Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 79 (1973), núm. 6, 1138-1149.