Transformación activa y pasiva - Active and passive transformation

En la transformación activa (izquierda), un punto se mueve de la posición P a P 'girando en el sentido de las agujas del reloj un ángulo θ alrededor del origen del sistema de coordenadas. En la transformación pasiva (derecha), el punto P no se mueve, mientras que el sistema de coordenadas gira en sentido antihorario en un ángulo θ alrededor de su origen. Las coordenadas de P 'en el caso activo (es decir, relativas al sistema de coordenadas original) son las mismas que las coordenadas de P relativas al sistema de coordenadas girado.

En geometría analítica , las transformaciones espaciales en el espacio euclidiano tridimensional se distinguen en transformaciones activas o coartada , y transformaciones pasivas o de alias . Una transformación activa es una transformación que en realidad cambia la posición física (coartada, en otro lugar) de un punto o cuerpo rígido , que puede definirse en ausencia de un sistema de coordenadas ; mientras que una transformación pasiva es simplemente un cambio en el sistema de coordenadas en el que se describe el objeto (alias, otro nombre) (cambio de mapa de coordenadas o cambio de base${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$). Por transformación , los matemáticos generalmente se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos y los ingenieros podrían referirse a cualquiera de las dos. Ambos tipos de transformación se pueden representar mediante una combinación de una traducción y una transformación lineal .

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto en dos sistemas de coordenadas diferentes. Por otro lado, una transformación activa es una transformación de uno o más objetos con respecto al mismo sistema de coordenadas. Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido. Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur , es decir, su movimiento en relación con un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un ( global ) sistema de coordenadas que se fija al suelo.

Ejemplo

Rotación considerada como una transformación pasiva ( alias ) o activa ( coartada )

Traducción y rotación como transformaciones pasivas ( alias ) o activas ( coartada )

Como ejemplo, sea el vector un vector en el plano. Una rotación del vector a través de un ángulo θ en sentido antihorario viene dada por la matriz de rotación : ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle R = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}},}$

que puede verse como una transformación activa o una transformación pasiva (donde se invertirá la matriz anterior ), como se describe a continuación.

Transformaciones espaciales en el espacio euclidiano ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

En general, una transformación espacial puede consistir en una traducción y una transformación lineal. A continuación, se omitirá la traslación y la transformación lineal se representará mediante una matriz de 3 × 3 . ${\ Displaystyle T \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle T}$

Transformación activa

Como transformación activa, transforma el vector inicial en un nuevo vector . ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} '= (v' _ {x}, v '_ {y}, v' _ {z}) = T \ mathbf {v} = T (v_ {x}, v_ {y }, v_ {z})}$

Si se ve como una nueva base , entonces las coordenadas del nuevo vector en la nueva base son las mismas que las de la base original. Tenga en cuenta que las transformaciones activas tienen sentido incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente . Tiene sentido escribir el nuevo vector en la base sin imprimación (como arriba) solo cuando la transformación es del espacio en sí mismo. ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {e} '_ {x} = T (1,0,0), \ \ mathbf {e}' _ {y} = T (0,1,0), \ \ mathbf { e} '_ {z} = T (0,0,1) \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} '= v_ {x} \ mathbf {e}' _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} '_ {y} + v_ {z} \ mathbf {e}' _ {z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z} }$

Transformación pasiva

Por otro lado, cuando se ve como una transformación pasiva, el vector inicial se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se transforman en la dirección opuesta, es decir, con la transformación inversa . Esto da un nuevo sistema de coordenadas XYZ con vectores base: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$${\ Displaystyle T ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {X} = T ^ {- 1} (1,0,0), \ \ mathbf {e} _ {Y} = T ^ {- 1} (0,1,0 ), \ \ mathbf {e} _ {Z} = T ^ {- 1} (0,0,1)}$

Las nuevas coordenadas de con respecto al nuevo sistema de coordenadas XYZ vienen dadas por: ${\ Displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = v_ {X} e_ {X} + v_ {Y} e_ {Y} + v_ {Z} e_ { Z} = T ^ {- 1} (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z})}$.

De esta ecuación se ve que las nuevas coordenadas están dadas por

${\ Displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z}) = T (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$.

Como transformación pasiva, las antiguas coordenadas se transforman en nuevas. ${\ Displaystyle T}$

Tenga en cuenta la equivalencia entre los dos tipos de transformaciones: las coordenadas del nuevo punto en la transformación activa y las nuevas coordenadas del punto en la transformación pasiva son las mismas, es decir

${\ Displaystyle (v_ {X}, v_ {Y}, v_ {Z}) = (v '_ {x}, v' _ {y}, v '_ {z})}$.

Ver también

• Cambio de base
• Covarianza y contravarianza de vectores
• Rotación de ejes
• Traducción de axes

Referencias

• Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 84, Addison-Wesley .

enlaces externos

• Ambigüedad de la interfaz de usuario