Abbe número - Abbe number

En óptica y diseño de lentes , el número de Abbe , también conocido como el número V o constringencia de un material transparente , es una medida aproximada de la dispersión del material (cambio del índice de refracción en función de la longitud de onda), con valores altos de V que indican baja dispersión. Lleva el nombre de Ernst Abbe (1840-1905), el físico alemán que lo definió. El término número V no debe confundirse con la frecuencia normalizada en fibras .

Variación del índice de refracción para vidrio flint SF11, vidrio corona de borosilicato BK7 y cuarzo fundido, y cálculo de dos números de Abbe para SF11.

El número de Abbe, V _D , de un material se define como

${\ Displaystyle V_ {D} = {\ frac {n_ {D} -1} {n_ {F} -n_ {C}}},}$

donde n _C , n _D y n _F son los índices de refracción del material en las longitudes de onda de las líneas espectrales Fraunhofer C, D ₁ y F (656,3  nm , 589,3 nm y 486,1 nm respectivamente). Esta formulación solo se aplica al espectro visible . Fuera de este rango se requiere el uso de diferentes líneas espectrales. Para las líneas espectrales no visibles, el término número V se usa más comúnmente. La formulación más general definida como,

${\ Displaystyle V = {\ frac {n_ {center} -1} {n_ {short} -n_ {long}}},}$

donde n _corto , n _centro y n _larga son los índices de refracción del material en tres longitudes de onda diferentes. El índice de longitud de onda más corta es n _corto y el más largo es n _largo .

Los números de Abbe se utilizan para clasificar el vidrio y otros materiales ópticos en términos de su cromaticidad . Por ejemplo, los vidrios de sílex de mayor dispersión tienen V  <55 mientras que los vidrios de corona de menor dispersión tienen números de Abbe más grandes. Los valores de V varían desde menos de 25 para vidrios de sílex muy densos, alrededor de 34 para plásticos de policarbonato , hasta 65 para vidrios de corona comunes y de 75 a 85 para algunos vidrios de corona de fluorita y fosfato.

La mayor parte de la curva de sensibilidad de la longitud de onda del ojo humano, que se muestra aquí, está delimitada por las longitudes de onda de referencia del número de Abbe de 486,1 nm (azul) y 656,3 nm (rojo).

Los números de Abbe se utilizan en el diseño de lentes acromáticos , ya que su recíproco es proporcional a la dispersión (pendiente del índice de refracción frente a la longitud de onda) en la región de la longitud de onda donde el ojo humano es más sensible (ver gráfico). Para diferentes regiones de longitud de onda, o para una mayor precisión en la caracterización de la cromaticidad de un sistema (como en el diseño de apocromáticos ), se utiliza la relación de dispersión completa (índice de refracción en función de la longitud de onda).

Diagrama de Abbe

Un diagrama de Abbe, también conocido como 'el velo de vidrio', traza el número de Abbe contra el índice de refracción para una gama de diferentes vidrios (puntos rojos). Las gafas se clasifican utilizando el código de letras y números de Schott Glass para reflejar su composición y posición en el diagrama.

Influencias de las adiciones de componentes de vidrio seleccionados en el número de Abbe de un vidrio base específico.

Un diagrama de Abbe , también llamado 'el velo de vidrio', se produce trazando el número de Abbe V _d de un material frente a su índice de refracción n _d . A continuación, las gafas se pueden clasificar y seleccionar de acuerdo con sus posiciones en el diagrama. Puede ser un código de letra y número, como se utiliza en el catálogo de Schott Glass , o un código de vidrio de 6 dígitos .

Los números de Abbe de las gafas, junto con sus índices de refracción medios, se utilizan en el cálculo de los poderes de refracción requeridos de los elementos de las lentes acromáticas para cancelar la aberración cromática de primer orden. Tenga en cuenta que estos dos parámetros que entran en las ecuaciones para el diseño de dobletes acromáticos son exactamente lo que se traza en un diagrama de Abbe.

Debido a la dificultad e inconveniencia de producir líneas de sodio e hidrógeno, a menudo se sustituyen definiciones alternativas del número de Abbe ( ISO 7944). En lugar de la definición estándar anterior, utilizando la variación del índice de refracción entre las líneas de hidrógeno F y C , una medida alternativa utilizando el subíndice "e"

${\ Displaystyle V_ {e} = {\ frac {n_ {e} -1} {n_ {F '} - n_ {C'}}}}$

toma la diferencia entre los índices de refracción de las líneas de cadmio azul y roja a 480.0 nm y 643.8 nm (con n _{e se} refiere a la longitud de onda de la línea e de mercurio, 546.073 nm). De manera similar, se pueden emplear otras definiciones; la siguiente tabla enumera las longitudes de onda estándar en las que n se determina comúnmente, incluidos los subíndices estándar empleados.

Derivación

Partiendo de la ecuación del Lensmaker para una lente delgada

${\ Displaystyle P = {\ frac {1} {f}} = (n-1) \ left [{\ frac {1} {R_ {1}}} - {\ frac {1} {R_ {2}} } + {\ frac {(n-1) d} {nR_ {1} R_ {2}}} \ right] \ approx (n-1) \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} - {\ frac {1} {R_ {2}}} \ right)}$

El cambio de la potencia refractiva P entre las dos longitudes de onda λ _corta y λ _larga viene dada por

${\ Displaystyle \ delta P = P_ {short} -P_ {long} = (n_ {s} -n_ {l}) \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} - {\ frac {1 } {R_ {2}}} \ right)}$

Esto se expresa en términos de la potencia P _c en el _{centro de} λ multiplicando y dividiendo por${\ Displaystyle n_ {c} -1}$

${\ Displaystyle \ delta P = {\ frac {n_ {s} -n_ {l}} {n_ {c} -1}} (n_ {c} -1) \ left ({\ frac {1} {R_ { 1}}} - {\ frac {1} {R_ {2}}} \ right) = {\ frac {n_ {s} -n_ {l}} {n_ {c} -1}} P_ {c} = {\ frac {P_ {c}} {V}}}$

El cambio relativo es inversamente proporcional a V

${\ Displaystyle {\ frac {\ delta P} {P_ {c}}} = {\ frac {1} {V}}}$

Ver también

• Prisma de Abbe
• Refractómetro de Abbe
• Cálculo de las propiedades del vidrio , incluido el número de Abbe
• Código de vidrio
• Ecuación de Sellmeier , modelado de dispersión más completo y basado físicamente

Referencias

enlaces externos

• Gráfico de Abbe y datos para 356 vasos de Ohara, Hoya y Schott