Dispersión (óptica) - Dispersion (optics)

En un prisma dispersivo , la dispersión del material (un índice de refracción dependiente de la longitud de onda ) hace que diferentes colores se refracten en diferentes ángulos, dividiendo la luz blanca en un espectro .

Una lámpara fluorescente compacta vista a través de un prisma Amici

En óptica , la dispersión es el fenómeno en el que la velocidad de fase de una onda depende de su frecuencia. Los medios que tienen esta propiedad común pueden denominarse medios dispersivos . A veces, el término dispersión cromática se usa para especificidad. Aunque el término se utiliza en el campo de la óptica para describir la luz y otras ondas electromagnéticas , la dispersión en el mismo sentido puede aplicarse a cualquier tipo de movimiento ondulatorio, como la dispersión acústica en el caso de ondas sonoras y sísmicas, en ondas gravitacionales (ondas oceánicas ) y para señales de telecomunicaciones a lo largo de líneas de transmisión (como cable coaxial ) o fibra óptica . Físicamente, la dispersión se traduce en una pérdida de energía cinética por absorción.

En óptica, una consecuencia importante y familiar de la dispersión es el cambio en el ángulo de refracción de diferentes colores de luz, como se ve en el espectro producido por un prisma dispersivo y en la aberración cromática de las lentes. El diseño de lentes acromáticos compuestos , en los que la aberración cromática se cancela en gran medida, utiliza una cuantificación de la dispersión de un vidrio dada por su número de Abbe V , donde los números de Abbe más bajos corresponden a una mayor dispersión en el espectro visible . En algunas aplicaciones, como las telecomunicaciones, la fase absoluta de una onda a menudo no es importante, sino solo la propagación de paquetes de ondas o "pulsos"; en ese caso, a uno sólo le interesan las variaciones de la velocidad del grupo con la frecuencia, la denominada dispersión de la velocidad del grupo .

Ejemplos de

El ejemplo más conocido de dispersión es probablemente un arco iris , en el que la dispersión provoca la separación espacial de una luz blanca en componentes de diferentes longitudes de onda (diferentes colores ). Sin embargo, la dispersión también tiene un efecto en muchas otras circunstancias: por ejemplo, la dispersión de la velocidad del grupo hace que los pulsos se propaguen en las fibras ópticas , degradando las señales en largas distancias; además, una cancelación entre la dispersión de la velocidad de grupo y los efectos no lineales conduce a ondas de solitón .

Dispersión de material y guía de ondas

Muy a menudo, la dispersión cromática se refiere a la dispersión del material a granel, es decir, el cambio en el índice de refracción con la frecuencia óptica. Sin embargo, en una guía de ondas también existe el fenómeno de la dispersión de la guía de ondas , en cuyo caso la velocidad de fase de una onda en una estructura depende de su frecuencia simplemente debido a la geometría de la estructura. De forma más general, la dispersión de la "guía de ondas" puede producirse para ondas que se propagan a través de cualquier estructura no homogénea (por ejemplo, un cristal fotónico ), tanto si las ondas están confinadas a alguna región como si no. En una guía de ondas, generalmente estarán presentes ambos tipos de dispersión, aunque no son estrictamente aditivos. Por ejemplo, en la fibra óptica, el material y la dispersión de la guía de ondas pueden cancelarse efectivamente entre sí para producir una longitud de onda de dispersión cero , lo que es importante para la comunicación rápida por fibra óptica .

Dispersión de material en óptica

La variación del índice de refracción frente a la longitud de onda de vacío para varios vidrios. Las longitudes de onda de la luz visible están sombreadas en gris.

Influencias de las adiciones de componentes de vidrio seleccionados en la dispersión media de un vidrio base específico ( n _F válido para λ  = 486 nm (azul), n _C válido para λ  = 656 nm (rojo))

La dispersión del material puede ser un efecto deseable o indeseable en aplicaciones ópticas. La dispersión de la luz mediante prismas de vidrio se utiliza para construir espectrómetros y espectrorradiómetros . También se utilizan rejillas holográficas , ya que permiten una discriminación más precisa de las longitudes de onda. Sin embargo, en las lentes, la dispersión provoca una aberración cromática , un efecto no deseado que puede degradar las imágenes en microscopios, telescopios y objetivos fotográficos.

La velocidad de fase , v , de una onda en un medio uniforme dado está dada por

${\ Displaystyle v = {\ frac {c} {n}}}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.

En general, el índice de refracción es una función de la frecuencia f de la luz, así n  =  n ( f ), o alternativamente, con respecto a la longitud de onda de la onda n  =  n ( λ ). La dependencia de la longitud de onda del índice de refracción de un material generalmente se cuantifica por su número de Abbe o sus coeficientes en una fórmula empírica como las ecuaciones de Cauchy o Sellmeier .

Debido a las relaciones de Kramers-Kronig , la dependencia de la longitud de onda de la parte real del índice de refracción está relacionada con la absorción del material , descrita por la parte imaginaria del índice de refracción (también llamado coeficiente de extinción ). En particular, para materiales no magnéticos ( μ  =  μ ₀ ), la susceptibilidad χ que aparece en las relaciones Kramers-Kronig es la susceptibilidad eléctrica χ _e  =  n ²  - 1.

La consecuencia más común de la dispersión en la óptica es la separación de la luz blanca en un espectro de color mediante un prisma . De la ley de Snell se puede ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que ese índice de refracción varía con la longitud de onda, se deduce que el ángulo por el que se refracta la luz también variará con la longitud de onda, provocando una separación angular de los colores conocida como dispersión angular .

Para la luz visible, los índices de refracción n de la mayoría de los materiales transparentes (por ejemplo, aire, vidrios) disminuyen al aumentar la longitud de onda λ :

${\ Displaystyle 1 <n (\ lambda _ {\ rm {rojo}}) <n (\ lambda _ {\ rm {amarillo}}) <n (\ lambda _ {\ rm {azul}}) \,}$

o alternativamente:

${\ displaystyle {\ frac {dn} {d \ lambda}} <0.}$

En este caso, se dice que el medio tiene una dispersión normal . Mientras que, si el índice aumenta al aumentar la longitud de onda (que es típicamente el caso en el ultravioleta), se dice que el medio tiene una dispersión anómala .

En la interfaz de dicho material con aire o vacío (índice de ~ 1), la ley de Snell predice que la luz incidente en un ángulo θ con respecto a la normal se refractará en un ángulo de arco en (pecado θ/norte). Por lo tanto, la luz azul, con un índice de refracción más alto, se desviará con más fuerza que la luz roja, lo que dará como resultado el conocido patrón de arco iris .

Dispersión de velocidad de grupo

Evolución temporal de un pulso corto en un medio dispersivo hipotético (k = w ^ 2) que muestra que los componentes de longitudes de onda más largas viajan más rápido que las longitudes de onda más cortas (GVD positivo), lo que resulta en chirridos y ensanchamiento del pulso.

Más allá de describir simplemente un cambio en la velocidad de fase sobre la longitud de onda, una consecuencia más seria de la dispersión en muchas aplicaciones se denomina dispersión de velocidad de grupo (GVD). Mientras que la velocidad de fase v se define como v =C/norte, esto describe solo un componente de frecuencia. Cuando se combinan diferentes componentes de frecuencia, como cuando se considera una señal o un pulso, a menudo uno está más interesado en la velocidad de grupo que describe la velocidad a la que se propaga un pulso o información superpuesta a una onda (modulación). En la animación adjunta, se puede ver que la propia onda (naranja-marrón) viaja a una velocidad de fase que es mucho más rápida que la velocidad de la envolvente (negra) que corresponde a la velocidad del grupo. Este pulso podría ser una señal de comunicaciones, por ejemplo, y su información solo viaja a la tasa de velocidad del grupo, aunque consiste en frentes de onda que avanzan a una tasa más rápida (la velocidad de fase).

Es posible calcular la velocidad del grupo a partir de la curva del índice de refracción n ( ω ) o más directamente del número de onda k = ωn / c donde ω es la frecuencia en radianes ω = 2 πf . Mientras que una expresión para la velocidad de fase es v _p = ω / k , la velocidad del grupo se puede expresar usando la derivada : v _g = dω / dk . O en términos de la velocidad de fase v _p ,

${\ Displaystyle {v_ {g}} = {\ frac {v_ {p}} {1 - {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} {\ frac {dv_ {p}} {d \ omega} }}}.}$

Cuando hay dispersión, no solo la velocidad del grupo no será igual a la velocidad de fase, sino que generalmente variará con la longitud de onda. Esto se conoce como dispersión de velocidad de grupo y hace que un pulso corto de luz se amplíe, ya que los diferentes componentes de frecuencia dentro del pulso viajan a diferentes velocidades. La dispersión de la velocidad del grupo se cuantifica como la derivada del recíproco de la velocidad del grupo con respecto a la frecuencia en radianes, lo que da como resultado la dispersión de la velocidad del grupo  = d ² k/dω ².

Si un pulso de luz se propaga a través de un material con dispersión de velocidad de grupo positiva, entonces los componentes de longitud de onda más cortos viajan más lentamente que los componentes de longitud de onda más larga. Por lo tanto, el pulso se vuelve un chirrido positivo , o chirrido , aumentando en frecuencia con el tiempo. Por otro lado, si un pulso viaja a través de un material con dispersión de velocidad de grupo negativa, los componentes de longitud de onda más cortos viajan más rápido que los más largos, y el pulso se vuelve chirrido negativamente , o chirrido hacia abajo , disminuyendo en frecuencia con el tiempo.

El parámetro de dispersión de velocidad de grupo :

${\ Displaystyle D = - {\ frac {\ lambda} {c}} \, {\ frac {d ^ {2} n} {d \ lambda ^ {2}}}.}$

se utiliza a menudo para cuantificar la GVD, que es proporcional a D a través de un factor negativo:

${\ Displaystyle D = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} \, {\ frac {d ^ {2} k} {d \ omega ^ {2}}}.}$

Según algunos autores, se dice que un medio tiene dispersión normal / dispersión anómala para una determinada longitud de onda de vacío λ ₀ si la segunda derivada del índice de refracción calculado en λ ₀ es positiva / negativa o, de forma equivalente, si D ( λ ₀ ) es negativa /positivo. Esta definición se refiere a la dispersión de la velocidad del grupo y no debe confundirse con la dada en la sección anterior. Las dos definiciones no coinciden en general, por lo que el lector debe comprender el contexto.

Control de dispersión

El resultado de GVD, ya sea negativo o positivo, es en última instancia la propagación temporal del pulso. Esto hace que la gestión de la dispersión sea extremadamente importante en los sistemas de comunicaciones ópticas basados ​​en fibra óptica, ya que si la dispersión es demasiado alta, un grupo de pulsos que representan un flujo de bits se extenderá en el tiempo y se fusionará, haciendo que el flujo de bits sea ininteligible. Esto limita la longitud de fibra por la que se puede enviar una señal sin regeneración. Una posible respuesta a este problema es enviar señales por la fibra óptica a una longitud de onda donde la GVD es cero (por ejemplo, alrededor de 1.3-1.5 μm en fibras de sílice ), por lo que los pulsos en esta longitud de onda sufren una dispersión mínima debido a la dispersión. En la práctica, sin embargo, este enfoque causa más problemas de los que resuelve porque cero GVD amplifica inaceptablemente otros efectos no lineales (como la mezcla de cuatro ondas ). Otra posible opción es utilizar pulsos de solitón en régimen de dispersión negativa, una forma de pulso óptico que utiliza un efecto óptico no lineal para auto-mantener su forma. Sin embargo, los solitones tienen el problema práctico de que requieren que se mantenga un cierto nivel de potencia en el pulso para que el efecto no lineal tenga la fuerza correcta. En cambio, la solución que se usa actualmente en la práctica es realizar la compensación de la dispersión, típicamente haciendo coincidir la fibra con otra fibra de dispersión de signo opuesto para que los efectos de la dispersión se cancelen; En última instancia, dicha compensación está limitada por efectos no lineales como la modulación de fase propia , que interactúan con la dispersión para hacerla muy difícil de deshacer.

El control de la dispersión también es importante en los láseres que producen pulsos cortos . La dispersión general del resonador óptico es un factor importante para determinar la duración de los pulsos emitidos por el láser. Puede disponerse un par de prismas para producir una dispersión negativa neta, que se puede utilizar para equilibrar la dispersión generalmente positiva del medio láser. Las rejillas de difracción también se pueden utilizar para producir efectos dispersivos; estos se utilizan a menudo en sistemas de amplificación láser de alta potencia. Recientemente, se ha desarrollado una alternativa a los prismas y rejillas: espejos chirriantes . Estos espejos dieléctricos están recubiertos de modo que diferentes longitudes de onda tienen diferentes longitudes de penetración y, por lo tanto, diferentes retardos de grupo. Las capas de revestimiento se pueden adaptar para lograr una dispersión negativa neta.

En guías de ondas

Las guías de ondas son altamente dispersivas debido a su geometría (más que solo a su composición material). Las fibras ópticas son una especie de guía de ondas para frecuencias ópticas (luz) muy utilizadas en los sistemas de telecomunicaciones modernos. La velocidad a la que se pueden transportar los datos en una sola fibra está limitada por el ensanchamiento del pulso debido a la dispersión cromática, entre otros fenómenos.

En general, para un modo de guía de ondas con una frecuencia angular ω ( β ) a una constante de propagación β (de modo que los campos electromagnéticos en la dirección de propagación z oscilen proporcionalmente a e ^{i ( βz - ωt )} ), el parámetro de dispersión de velocidad de grupo D Se define como:

${\ Displaystyle D = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} \ beta} {d \ omega ^ {2}}} = {\ frac {2 \ pi c} {v_ {g} ^ {2} \ lambda ^ {2}}} {\ frac {dv_ {g}} {d \ omega}}}$

donde λ  = 2 π c/ωes la longitud de onda de vacío y v _g  = dω/dβes la velocidad del grupo. Esta fórmula generaliza la de la sección anterior para medios homogéneos e incluye tanto la dispersión de la guía de ondas como la dispersión del material. La razón para definir la dispersión de esta manera es que | D | es el impulso temporal (asintótico) que se extiende Δ t por unidad de ancho de banda Δ λ por unidad de distancia recorrida, comúnmente expresada en ps / nm / km para fibras ópticas.

En el caso de fibras ópticas multimodo , la denominada dispersión modal también conducirá a un ensanchamiento del pulso. Incluso en fibras monomodo , el ensanchamiento del pulso puede ocurrir como resultado de la dispersión del modo de polarización (ya que todavía hay dos modos de polarización). Estos no son ejemplos de dispersión cromática, ya que no dependen de la longitud de onda o el ancho de banda de los pulsos propagados.

Dispersión de orden superior en anchos de banda amplios

Cuando está presente en un solo paquete de ondas, tal como en un una amplia gama de frecuencias (un ancho de banda amplio) pulso ultracorto o una chirped pulso u otras formas de espectro ensanchado de transmisión, puede que no sea preciso para aproximarse a la dispersión por una constante sobre el ancho de banda completo, y se requieren cálculos más complejos para calcular efectos como la propagación del pulso.

En particular, el parámetro de dispersión D definido anteriormente se obtiene a partir de una única derivada de la velocidad del grupo. Las derivadas superiores se conocen como dispersión de orden superior . Estos términos son simplemente una expansión en serie de Taylor de la relación de dispersión β ( ω ) del medio o guía de ondas alrededor de una frecuencia particular. Sus efectos se pueden calcular mediante la evaluación numérica de las transformadas de Fourier de la forma de onda, mediante la integración de aproximaciones de envolvente que varían lentamente de orden superior , mediante un método de paso dividido (que puede utilizar la relación de dispersión exacta en lugar de una serie de Taylor), o mediante simulación de las ecuaciones de Maxwell completas en lugar de una ecuación envolvente aproximada.

Dispersión espacial

En electromagnética y óptica, el término dispersión generalmente se refiere a la dispersión temporal o de frecuencia antes mencionada. La dispersión espacial se refiere a la respuesta no local del medio al espacio; esto puede reformularse como la dependencia del vector de onda de la permitividad. Para un medio anisotrópico ejemplar , la relación espacial entre el campo de desplazamiento eléctrico y eléctrico se puede expresar como una convolución :

${\ Displaystyle D_ {i} (t, r) = E_ {i} (t, r) + \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int f_ {ik} (\ tau; r, r ') E_ {k} (t- \ tau, r ') dV'd \ tau,}$

donde el núcleo es la respuesta dieléctrica (susceptibilidad); sus índices lo convierten en general en un tensor para explicar la anisotropía del medio. La dispersión espacial es despreciable en la mayoría de los casos macroscópicos, donde la escala de variación de es mucho mayor que las dimensiones atómicas, porque el núcleo dieléctrico se extingue a distancias macroscópicas. No obstante, puede producir efectos macroscópicos no despreciables, especialmente en medios conductores como metales , electrolitos y plasmas . La dispersión espacial también juega un papel en la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler , así como en la teoría de los metamateriales . ${\ Displaystyle f_ {ik}}$${\ Displaystyle E_ {k} (t- \ tau, r ')}$

En gemología

En la terminología técnica de la gemología , la dispersión es la diferencia en el índice de refracción de un material en las longitudes de onda de Fraunhofer B y G (686,7  nm y 430,8 nm) o C y F (656,3 nm y 486,1 nm) , y está destinada a expresar la grado en el que un prisma cortado de la piedra preciosa demuestra "fuego". El fuego es un término coloquial utilizado por los gemólogos para describir la naturaleza dispersiva de una piedra preciosa o la falta de ella. La dispersión es una propiedad material. La cantidad de fuego demostrado por una piedra preciosa determinada es una función de los ángulos de faceta de la piedra preciosa, la calidad del pulido, el entorno de iluminación, el índice de refracción del material, la saturación del color y la orientación del espectador en relación con la piedra preciosa.

En imagen

En lentes fotográficos y microscópicos, la dispersión provoca una aberración cromática , lo que hace que los diferentes colores de la imagen no se superpongan correctamente. Se han desarrollado diversas técnicas para contrarrestar esto, como el uso de acromáticos , lentes multielemento con gafas de diferente dispersión. Están construidos de tal manera que las aberraciones cromáticas de las diferentes partes se anulan.

Emisiones de pulsar

Los púlsares son estrellas de neutrones en rotación que emiten pulsos a intervalos muy regulares que van desde milisegundos a segundos. Los astrónomos creen que los pulsos se emiten simultáneamente en una amplia gama de frecuencias. Sin embargo, como se observa en la Tierra, los componentes de cada pulso emitido a frecuencias de radio más altas llegan antes que los emitidos a frecuencias más bajas. Esta dispersión se produce debido al componente ionizado del medio interestelar , principalmente los electrones libres, que hacen que la velocidad del grupo dependa de la frecuencia. El retardo adicional agregado a una frecuencia ν es

${\ Displaystyle t = k _ {\ mathrm {DM}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathrm {DM}} {\ nu ^ {2}}} \ right)}$

donde la constante de dispersión k _DM viene dada por

${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {DM}} = {\ frac {e ^ {2}} {2 \ pi m _ {\ mathrm {e}} c}} \ simeq 4.149 \, \ mathrm {GHz} ^ {2 } \, \ mathrm {pc} ^ {- 1} \, \ mathrm {cm} ^ {3} \, \ mathrm {ms},}$

y la medida de dispersión (DM) es la densidad de la columna de electrones libres ( contenido total de electrones ), es decir, la densidad numérica de electrones n _e (electrones / cm ³ ) integrados a lo largo del camino recorrido por el fotón desde el púlsar a la Tierra, y es dado por

${\ Displaystyle \ mathrm {DM} = \ int _ {0} ^ {d} {n_ {e} \, dl}}$

con unidades de pársecs por centímetro cúbico (1 pc / cm ³ = 30,857 × 10 ²¹  m ⁻² ).

Normalmente, para las observaciones astronómicas, este retraso no se puede medir directamente, ya que se desconoce el tiempo de emisión. Lo que se puede medir es la diferencia en los tiempos de llegada a dos frecuencias diferentes. El retardo Δ t entre una frecuencia alta ν _hi y una componente de baja frecuencia ν _lo de un pulso será

${\ Displaystyle \ Delta t = k _ {\ mathrm {DM}} \ cdot \ mathrm {DM} \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ nu _ {\ mathrm {lo}} ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ nu _ {\ mathrm {hi}} ^ {2}}} \ right)}$

Reescribir la ecuación anterior en términos de Δ t permite determinar el DM midiendo los tiempos de llegada de los pulsos en múltiples frecuencias. Esto, a su vez, se puede utilizar para estudiar el medio interestelar, así como para permitir la combinación de observaciones de púlsares a diferentes frecuencias.

Ver también

Referencias

enlaces externos

• Wiki de dispersión : discute los aspectos matemáticos de la dispersión.
• Dispersión - Enciclopedia de física y tecnología láser
• Animaciones que demuestran la dispersión óptica por QED
• Webdemo interactivo para la dispersión cromática Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart