( ε , δ ) -definición de límite -(ε, δ)-definition of limit

En cálculo , la ( ε ,  δ ) -definición de límite (" definición de límite épsilon - delta ") es una formalización de la noción de límite . El concepto se debe a Augustin-Louis Cauchy , quien nunca dio una definición formal ( ε , δ ) de límite en su Cours d'Analyse , pero ocasionalmente usó argumentos ε , δ en las demostraciones. Fue dada por primera vez como una definición formal por Bernard Bolzano en 1817, y la declaración moderna definitiva la proporcionó en última instancia Karl Weierstrass . Proporciona rigor a la siguiente noción informal: la expresión dependiente f ( x ) se acerca al valor L cuando la variable x se acerca al valor c si f ( x ) se puede hacer tan cerca como se desee a L tomando x lo suficientemente cerca de c .

Historia

Aunque los griegos examinaron los procesos limitantes, como el método babilónico , probablemente no tenían un concepto similar al límite moderno. La necesidad del concepto de límite surgió en el siglo XVII, cuando Pierre de Fermat intentó encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función como . Utilizando una cantidad distinta de cero pero casi nula , Fermat realizó el siguiente cálculo: ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ text {pendiente}} & = {\ frac {f (x + E) -f (x)} {E}} \\ & = {\ frac {(x + E ) ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ & = {\ frac {x ^ {2} + 2xE + E ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ & = {\ frac {2xE + E ^ {2}} {E}} = 2x + E = 2x. \ end {alineado}}}$

La clave del cálculo anterior es que, dado que no es cero, se puede dividir entre , pero dado que está cerca de 0, es esencialmente . Cantidades como las llamadas infinitesimales . El problema con este cálculo es que los matemáticos de la época eran incapaces de definir rigurosamente una cantidad con propiedades de , a pesar de que era una práctica común "descuidar" los infinitesimales de mayor potencia y esto parecía producir resultados correctos. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f (x + E) -f (x)}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle 2x + E}$${\ Displaystyle 2x}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$

Este problema reapareció más tarde en el siglo XVII en el centro del desarrollo del cálculo , donde cálculos como el de Fermat son importantes para el cálculo de derivadas . Isaac Newton desarrolló por primera vez el cálculo a través de una cantidad infinitesimal llamada fluxion . Los desarrolló en referencia a la idea de un "momento infinitamente pequeño en el tiempo ..." Sin embargo, Newton luego rechazó las fluxiones a favor de una teoría de las proporciones que se acerca a la definición moderna del límite. Además, Newton era consciente de que el límite de la proporción de cantidades que desaparecen no era en sí mismo una proporción, como escribió: ${\ Displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$

Esas razones últimas ... no son en realidad razones de cantidades últimas, sino límites ... a los que pueden acercarse tan de cerca que su diferencia es menor que cualquier cantidad dada ...

Además, Newton ocasionalmente explicó los límites en términos similares a la definición épsilon-delta. Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló un infinitesimal propio y trató de proporcionarle una base rigurosa, pero aún así fue recibido con inquietud por algunos matemáticos y filósofos.

Augustin-Louis Cauchy dio una definición de límite en términos de una noción más primitiva que llamó cantidad variable . Nunca dio una definición de límite épsilon-delta (Grabiner 1981). Algunas de las pruebas de Cauchy contienen indicaciones del método épsilon-delta. Si su enfoque fundacional puede o no ser considerado un presagio del de Weierstrass es un tema de controversia entre los académicos. Grabiner cree que sí, mientras que Schubring (2005) no está de acuerdo. Nakane concluye que Cauchy y Weierstrass dieron el mismo nombre a diferentes nociones de límite.

Finalmente, a Weierstrass y Bolzano se les atribuye el mérito de proporcionar una base rigurosa para el cálculo, en la forma de la definición moderna del límite. Luego se eliminó la necesidad de hacer referencia a un infinitesimal , y el cálculo de Fermat se convirtió en el cálculo del siguiente límite: ${\ Displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}$

Esto no quiere decir que la definición limitante estuviera libre de problemas ya que, aunque eliminó la necesidad de infinitesimales, sí requirió la construcción de los números reales por Richard Dedekind . Esto tampoco quiere decir que los infinitesimales no tengan lugar en las matemáticas modernas, ya que los matemáticos posteriores pudieron crear rigurosamente cantidades infinitesimales como parte de los sistemas numéricos hiperrealistas o surrealistas . Además, es posible desarrollar rigurosamente el cálculo con estas cantidades y tienen otros usos matemáticos.

Declaración informal

Una definición informal viable (es decir, intuitiva o provisional) es que una " función f se acerca al límite L cerca de a (simbólicamente ) si se puede hacer f ( x ) arbitrariamente cercana a L al requerir que x esté lo suficientemente cerca de, pero desigual a, a . " ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}$

Decir que dos cosas están cerca (por ejemplo, f ( x ) y L o x y un ) significa que la diferencia (o distancia ) entre ellos es pequeña. Cuando f ( x ) , L , X , y una son números reales , la diferencia / distancia entre dos números es el valor absoluto de la diferencia de los dos. Por lo tanto, decir que f ( x ) está cerca de L significa que | f ( x ) - L | es pequeño. Decir que x y un son medios que cerca | x - a | es pequeño.

Decir que f ( x ) se puede hacer arbitrariamente cerca de L , significa que para todas las distancias distintas de cero, ε la distancia entre f ( x ) y L puede hacerse más pequeña que ε .

Decir que f ( x ) se puede hacer arbitrariamente cerca de L al requerir que x esté lo suficientemente cerca, pero diferente a, a , significa que para cada distancia ε distinta de cero , hay una distancia δ distinta de cero tal que si la distancia entre x y una es menor que δ entonces la distancia entre f ( x ) y L es menor que ε .

El aspecto informal / intuitivo que se debe comprender aquí es que la definición requiere la siguiente conversación interna (que normalmente se parafrasea con un lenguaje como "tu enemigo / adversario te ataca con una ε , y tú te defiendes / te proteges con una δ "): A uno se le proporciona cualquier desafío ε > 0 para una f , a y L dadas . Se debe responder con un δ > 0 tal que 0 <| x - a | < δ implica que | f ( x ) - L | < ε . Si uno puede dar una respuesta a cualquier desafío, entonces ha demostrado que el límite existe.

Declaración precisa y declaraciones relacionadas

Declaración precisa para funciones de valor real

La definición del límite de una función es la siguiente: ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$

Sea una función de valor real definida en un subconjunto de los números reales . Sea un punto límite de y sea ​​un número real. Luego ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}$

si para todos existe tal que, para todos , si , entonces . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$${\ Displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

Simbólicamente:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L \ iff \ left (\ forall \ varepsilon> 0, \, \ existe \ \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \ , 0 <| xc | <\ delta \ \ Rightarrow \ | f (x) -L | <\ varepsilon \ right)}$

Si o , entonces la condición de que es un punto límite se puede reemplazar con la condición más simple de que c pertenece a D , ya que los intervalos reales cerrados y la línea real completa son conjuntos perfectos . ${\ Displaystyle D = [a, b]}$${\ Displaystyle D = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle c}$

Declaración precisa para funciones entre espacios métricos

La definición se puede generalizar a funciones que se asignan entre espacios métricos . Estos espacios vienen con una función, llamada métrica, que toma dos puntos en el espacio y devuelve un número real que representa la distancia entre los dos puntos. La definición generalizada es la siguiente:

Supongamos que se define en un subconjunto de un espacio métrico con una métrica y se asigna a un espacio métrico con una métrica . Sea un punto límite de y sea ​​un punto de . Luego ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d_ {X} (x, y)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle d_ {Y} (x, y)}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = L}$

si para todos , existe tal que para todos , si , entonces . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle 0 <d_ {X} (x, c) <\ delta}$${\ Displaystyle d_ {Y} (f (x), L) <\ varepsilon}$

Dado que es una métrica de los números reales, se puede demostrar que esta definición generaliza la primera definición para funciones reales. ${\ Displaystyle d (x, y) = | xy |}$

Negación de la declaración precisa

La negación lógica de la definición es la siguiente:

Supongamos que se define en un subconjunto de un espacio métrico con una métrica y se asigna a un espacio métrico con una métrica . Sea un punto límite de y sea ​​un punto de . Luego ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d_ {X} (x, y)}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle d_ {Y} (x, y)}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}$

si existe tal que para todos hay tal que y . Entonces no existe si para todo , . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle 0 <d_ {X} (x, c) <\ delta}$${\ Displaystyle d_ {Y} (f (x), L)> \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x)}$${\ Displaystyle L \ in Y}$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) \ neq L}$

Para la negación de una función de valor real definida en los números reales, simplemente establezca . ${\ Displaystyle d_ {Y} (x, y) = d_ {X} (x, y) = | xy |}$

Declaración precisa de límites en el infinito

La declaración precisa para los límites en el infinito es la siguiente:

Suponga que tiene un valor real que se define en un subconjunto de los números reales que contiene valores arbitrariamente grandes. Luego ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = L}$

si para todos , hay un número real tal que para todos , si entonces . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle N> 0}$${\ Displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle x> N}$${\ Displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

También es posible dar una definición en espacios métricos generales.

Límites unilaterales

La definición estándar no permite definir límites en puntos de discontinuidad. Para esto, los límites unilaterales son útiles. El límite "desde la derecha" se define formalmente como ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c ^ {+}} f (x) \ iff \ forall \ varepsilon> 0, \, \ existe \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \, 0 <xc <\ delta \ Rightarrow | f (x) -L | <\ varepsilon}$

y el límite "desde la izquierda" como

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c ^ {-}} f (x) \ iff \ forall \ varepsilon> 0, \, \ existe \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \, - \ delta <xc <0 \ Rightarrow | f (x) -L | <\ varepsilon}$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Se demostrará que

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} = 0}$.

Dado , se necesita un tal que implica . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle | x-0 | <\ delta}$${\ Displaystyle \ left | x \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) -0 \ right | <\ varepsilon}$

Dado que el seno está acotado por encima de 1 y por debajo de -1,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - ​​0 \ right | & = \ left | x \ sin {\ left ( {\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ & = | x | \ left | \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ & \ leq | x |. \ end {alineado}}}$

Así, se toma, luego implica , lo que completa la demostración. ${\ Displaystyle \ delta = \ varepsilon}$${\ Displaystyle | x | = | x-0 | <\ delta}$${\ Displaystyle \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - ​​0 \ right | \ leq | x | <\ varepsilon}$

Ejemplo 2

La declaración

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}$

se probará para cualquier número real . ${\ Displaystyle a}$

Dado es . Se encontrará tal que implica . ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle | xa | <\ delta}$${\ Displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$

Empezando por factorizar

${\ Displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | = | (xa) (x + a) | = | xa || x + a |,}$

el término está limitado por, por lo que se puede presuponer un límite de 1, y luego se puede elegir algo más pequeño que eso . ${\ Displaystyle | xa |}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$

Entonces se supone eso . Dado que se cumple en general para números reales y , ${\ Displaystyle | xa | <1}$${\ Displaystyle | x | - | y | \ leq | xy |}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle | x | - | a | \ leq | xa | <1.}$

Por lo tanto

${\ Displaystyle | x | <1+ | a |.}$

Así, a través de la desigualdad del triángulo ,

${\ Displaystyle | x + a | \ leq | x | + | a | <2 | a | +1.}$

Por tanto, si además se supone que

${\ Displaystyle | xa | <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}},}$

luego

${\ Displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon.}$

En resumen, se establece. ${\ Displaystyle \ delta = \ min {\ left \ {1, {\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} \ right \}}}$

Entonces, si , entonces ${\ Displaystyle | xa | <\ delta}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} | x ^ {2} -a ^ {2} | & = | xa || x + a | \\ & <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1 }} (| x + a |) \\ & <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} (2 | a | +1) \\ & = \ varepsilon. \ end {alineado}} }$

Por tanto, a se encuentra tal que implica . Así, se demuestra que ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle | xa | <\ delta}$${\ Displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} x ^ {2} = a ^ {2}}$

para cualquier número real . ${\ Displaystyle a}$

Ejemplo 3

La declaración

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 5} (3x-3) = 12}$

será probado.

Esto se muestra fácilmente a través de la comprensión gráfica del límite y, como tal, sirve como una base sólida para la introducción a la prueba. De acuerdo con la definición formal anterior, una declaración de límite es correcta si y solo si se limita a las unidades de , inevitablemente se limitará a las unidades de . En este caso específico, esto significa que el enunciado es verdadero si y solo si limitarse a unidades de 5 inevitablemente limitará ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle 3x-3}$

a unidades de 12. La clave general para mostrar esta implicación es demostrar cómo y deben estar relacionados entre sí de manera que la implicación se mantenga. Matemáticamente, se demostrará que ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle 0 <| x-5 | <\ delta \ \ Rightarrow \ | (3x-3) -12 | <\ varepsilon.}$

Simplificar, factorizar y dividir 3 en el lado derecho de la implicación da como resultado

${\ Displaystyle | x-5 | <\ varepsilon / 3,}$

que da inmediatamente el resultado requerido si

${\ Displaystyle \ delta = \ varepsilon / 3}$

esta elegido.

Por lo tanto, la prueba está completa. La clave de la prueba radica en la capacidad de uno para elegir los límites en y luego concluir los límites correspondientes en , que en este caso estaban relacionados por un factor de 3, que se debe completamente a la pendiente de 3 en la línea. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle y = 3x-3.}$

Continuidad

Se dice que una función f es continua en c si está definida en c y su valor en c es igual al límite de f cuando x se acerca a c :

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = f (c).}$

La definición de una función continua se puede obtener a partir de la definición de un límite reemplazando con , para asegurar que f se define en cy es igual al límite. ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$${\ Displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$${\ Displaystyle | xc | <\ delta}$

Una función f se dice que es continua en un intervalo I si es continua en cada punto c de I .

Comparación con la definición infinitesimal

Keisler demostró que una definición hiperreal de límite reduce la complejidad del cuantificador lógico en dos cuantificadores. Es decir, converge a un límite L como tiende a a si y solo si el valor es infinitamente cercano a L para cada e infinitesimal . (Consulte Microcontinuidad para obtener una definición relacionada de continuidad, esencialmente debido a Cauchy ). ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f (x + e)}$

Los libros de texto de cálculo infinitesimal basados ​​en el enfoque de Robinson proporcionan definiciones de continuidad, derivada e integral en puntos estándar en términos de infinitesimales. Una vez que se han explicado a fondo nociones como la continuidad mediante el enfoque que utiliza la microcontinuidad, también se presenta el enfoque épsilon-delta. Karel Hrbáček sostiene que las definiciones de continuidad, derivada e integración en el análisis no estándar de estilo Robinson deben basarse en el método ε - δ , para cubrir también los valores no estándar de la entrada. Błaszczyk y col. argumentan que la microcontinuidad es útil para desarrollar una definición transparente de continuidad uniforme, y caracterizan la crítica de Hrbáček como un "lamento dudoso". Hrbáček propone un análisis alternativo no estándar, que (a diferencia de Robinson) tiene muchos "niveles" de infinitesimales, de modo que los límites en un nivel se pueden definir en términos de infinitesimales en el siguiente nivel.

Familia de definiciones de límites formales

No existe una única definición de límite, existe toda una familia de definiciones. Esto se debe a la presencia del infinito y al concepto de límites "desde la derecha" y "desde la izquierda". El límite en sí mismo puede ser un valor finito , o . El valor al que se aproxima también puede ser un valor finito , o , y si es un valor finito, se puede acercar por la izquierda o por la derecha. Normalmente, a cada combinación se le da su propia definición, como esta: ${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle - \ infty}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle - \ infty}$

Notación

Def.

Ejemplo

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {Red} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L- \ varepsilon} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} sin (x) = 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {+}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {Red} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L- \ varepsilon} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {2} + sgn (x) = 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {Red} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} c}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L- \ varepsilon} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} x ^ {2} + sgn (x) = - 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {Red} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {Verde} M} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L- \ varepsilon} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} 1 / x = 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} - \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {Red} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M <0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} M}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} L- \ varepsilon} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} e ^ {x} = 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} N} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} | 1 / x | = \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {+}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} N} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} 1 / x = \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} c}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} N} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} - 1 / x = \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {Verde} M} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} N} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} e ^ {x} = \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} - \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M <0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} M}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {Red} N} <}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} x ^ {2} = \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} - | 1 / x | = - \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {+}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Verde} c + \ delta}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} log (x) = - \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe \ delta> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle {\ color {Verde} c- \ delta} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} c}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} 1 / x = - \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M> 0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {Verde} M} <}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} -x = - \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} - \ infty}}}$

${\ Displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {rojo} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ Displaystyle {\ color {Red} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {verde} \ existe M <0,}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle <{\ color {Green} M}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle <{\ color {Red} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} x ^ {3} = - \ infty}$

Ver también

• Función continua
• Límite de una secuencia
• Lista de temas de cálculo
• Teorema del emparedado

Referencias

Otras lecturas

• Grabiner, Judith V. (1982). Los orígenes del riguroso cálculo de Cauchy . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-14374-3.
• Schubring, Gert (2005). Conflictos entre generalización, rigor e intuición: conceptos numéricos que subyacen al desarrollo del análisis en Francia y Alemania de los siglos XVII y XIX (edición ilustrada). Saltador. ISBN 978-0-387-22836-5.