Cardenal indescriptible - Indescribable cardinal

En las matemáticas , un cardenal Q-indescriptible es un cierto tipo de cardenal gran número que es difícil de describir con algún lenguaje de Q . Hay muchos tipos diferentes de cardenales indescriptibles que corresponden a diferentes opciones de idiomas Q . Fueron presentados por Hanf y Scott (1961) .

Un número cardinal κ se llama Πn
m-indescriptible si para cada Π m proposición φ, y establece A ⊆ V κ con (V κ + n , ∈, A) ⊧ φ existe un α <κ con (V α + n , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ. Aquí uno mira fórmulas con alternancias m-1 de cuantificadores, siendo el cuantificador más externo universal. Σn
m-Los cardenales indescriptibles se definen de manera similar. La idea es que κ no se puede distinguir (mirando desde abajo) de los cardinales más pequeños mediante ninguna fórmula de lógica de n + 1-ésimo orden con alternancias de cuantificadores m-1, incluso con la ventaja de un símbolo de predicado unario adicional (para A). Esto implica que es grande porque significa que debe haber muchos cardenales más pequeños con propiedades similares.

El número cardinal κ se llama totalmente indescriptible si es Πn
m-indescribable para todos los enteros positivos m y n .

Si α es un ordinal, el número cardinal κ se llama α-indescriptible si para cada fórmula φ y cada subconjunto U de V κ tal que φ ( U ) se cumple en V κ + α hay algo λ <κ tal que φ ( U ∩ V λ ) se mantiene en V λ + α . Si α es infinito, entonces los ordinales α-indescriptibles son totalmente indescriptibles, y si α es finito, son lo mismo que Πα
ω-ordenales indescriptibles. La α-indescriptible implica que α <κ, pero existe una noción alternativa de cardenales astutos que tiene sentido cuando α≥κ: hay λ <κ y β tal que φ ( U ∩ V λ ) se cumple en V λ + β .

Condiciones equivalentes

Un cardenal es inaccesible si y solo si lo es Π0
n-indescriptible para todos los enteros positivos n , equivalentemente si si es Π0
2-indescriptible, equivalentemente si es Σ1
1-indescriptible.

Π1
1-Los cardenales indescriptibles son los mismos que los cardenales débilmente compactos .

Si V = L, entonces para un número natural n > 0, un cardinal incontable es Π1
n-indescriptible si es (n + 1) -estacionario.

Relaciones en la gran jerarquía cardinal

Un cardenal es Σ1
n + 1-indescriptible si lo es Π1
n-indescriptible. La propiedad de ser Π1
n-indescriptible es Π1
n + 1. Para m> 1, la propiedad de ser Πm
n-indescriptible es Σm
n y la propiedad de ser Σm
n-indescriptible es Πm
n. Por lo tanto, para m> 1, todo cardinal que sea Πm
n + 1-indescriptible o Σm
n + 1-indescriptible es ambos Πm
n-indescriptible y Σm
n-indescriptible y el conjunto de tales cardenales debajo es estacionario. La fuerza de la consistencia es Σm
n-indescriptible cardenales está por debajo del de Πm
n-indescriptible, pero para m> 1 es consistente con ZFC que el mínimo Σm
n-indescriptible existe y está por encima de lo mínimo Πm
n-cardenal indescriptible (esto se demuestra por la consistencia de ZFC con Πm
n-cardenal indescriptible y un Σm
n-cardenal indescriptible encima de él).

Los cardenales medibles son Π2
1-indescriptible, pero el cardinal medible más pequeño no lo es Σ2
1-indescriptible. Sin embargo, hay muchos cardenales totalmente indescriptibles debajo de cualquier cardenal medible.

Cardenales totalmente indescriptibles siguen siendo totalmente indescriptibles en el universo constructible y en otros modelos internos canónicos, y de manera similar para Πm
n y Σm
n indescriptible.

Referencias

  • Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
  • Hanf, WP; Scott, DS (1961), "Clasificación de cardenales inaccesibles", Notices of the American Mathematical Society , 8 : 445, ISSN  0002-9920
  • Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3.