Torsión de una curva - Torsion of a curve

En la geometría diferencial elemental de curvas en tres dimensiones , la torsión de una curva mide qué tan bruscamente se tuerce fuera del plano de curvatura. En conjunto, la curvatura y la torsión de una curva espacial son análogas a la curvatura de una curva plana. Por ejemplo, son coeficientes en el sistema de ecuaciones diferenciales para el marco de Frenet dado por las fórmulas de Frenet-Serret .

Definición

Animación de la torsión y la correspondiente rotación del vector binormal.

Deje que $r$ sea una curva en el espacio parametrizada por longitud de arco $s$ y con el vector unitario tangente $T$ . Si la curvatura $κ$ de $r$ en un cierto punto no es cero, entonces el vector normal principal y el vector binormal en ese punto son los vectores unitarios

{\ Displaystyle \ mathbf {N} = {\ frac {\ mathbf {T} '} {\ kappa}}, \ quad \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N}}

respectivamente, donde el primo denota la derivada del vector con respecto al parámetro $s$ . La torsión $τ$ mide la velocidad de rotación del vector binormal en el punto dado. Se encuentra a partir de la ecuación

{\ Displaystyle \ mathbf {B} '= - \ tau \ mathbf {N}.}

lo que significa

{\ Displaystyle \ tau = - \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {B} '.}

Como , esto es equivalente a . ${\ Displaystyle \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ ${\ Displaystyle \ tau = \ mathbf {N} '\ cdot \ mathbf {B}}$

Observación : La derivada del vector binormal es perpendicular tanto al binormal como a la tangente, por lo que tiene que ser proporcional al vector normal principal. El signo negativo es simplemente una cuestión de convención: es un subproducto del desarrollo histórico del sujeto.

Relevancia geométrica: La torsión $τ (s)$ mide el giro del vector binormal. Cuanto mayor es la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del eje dado por el vector tangente (ver ilustraciones gráficas ). En la figura animada, la rotación del vector binormal es claramente visible en los picos de la función de torsión.

Propiedades

Una curva plana con curvatura que no desaparece tiene una torsión cero en todos los puntos. Por el contrario, si la torsión de una curva regular con curvatura que no desaparece es idénticamente cero, entonces esta curva pertenece a un plano fijo.
La curvatura y la torsión de una hélice son constantes. Por el contrario, cualquier curva espacial cuya curvatura y torsión sean constantes y distintas de cero es una hélice. La torsión es positiva para una hélice diestra y negativa para una zurda.

Descripción alternativa

Sea $r = r (t)$ la ecuación paramétrica de una curva espacial. Suponga que se trata de una parametrización regular y que la curvatura de la curva no desaparece. Analíticamente, $r (t)$ es un tres veces diferenciable función de $t$ con valores en $R 3$ y los vectores