Operador de rotación tridimensional - Three-dimensional rotation operator

Este artículo deriva las principales propiedades de las rotaciones en un espacio tridimensional .

Las tres rotaciones de Euler son una forma de llevar un cuerpo rígido a cualquier orientación deseada haciendo rotaciones secuenciales alrededor del eje fijo en relación con el objeto. Sin embargo, esto también se puede lograr con una sola rotación ( teorema de rotación de Euler ). Utilizando los conceptos de álgebra lineal se muestra cómo se puede realizar esta única rotación.

Formulación matemática

Sea ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) un sistema de coordenadas fijo en el cuerpo que a través de un cambio de orientación A es llevado a las nuevas direcciones

${\ Displaystyle \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {1}, \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {2}, \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {3}.}$

Cualquier vector

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = x_ {1} {\ hat {e}} _ {1} + x_ {2} {\ hat {e}} _ {2} + x_ {3} {\ hat {e}} _ {3}}$

La rotación con el cuerpo se lleva a la nueva dirección.

${\ Displaystyle \ mathbf {A} {\ bar {x}} = x_ {1} \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {1} + x_ {2} \ mathbf {A} {\ hat { e}} _ {2} + x_ {3} \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {3},}$

es decir, este es un operador lineal

La matriz de este operador relativa al sistema de coordenadas ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) es

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ langle {\ hat {e}} _ {1} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {1} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {1} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {2} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {1} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {3} \ rangle \\\ langle {\ hat {e}} _ {2} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {1} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {2} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {2} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {2} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {3} \ rangle \\\ langle {\ hat {e}} _ {3} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {1} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {3} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {2} \ rangle & \ langle {\ hat {e}} _ {3} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {3} \ rangle \ end {bmatrix}}.}$

Como

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {3} A_ {ki} A_ {kj} = \ langle \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {i} | \ mathbf {A} {\ hat {e}} _ {j} \ rangle = {\ begin {cases} 0, & i \ neq j, \\ 1, & i = j, \ end {cases}}}$

o equivalentemente en notación matricial

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {31 } & A_ {32} & A_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}},}$

la matriz es ortogonal y como un sistema de vector base diestro se reorienta hacia otro sistema diestro, el determinante de esta matriz tiene el valor 1.

Rotación alrededor de un eje

Sea ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) un sistema de vector base ortogonal orientado positivamente en R ³ . El operador lineal "rotación por ángulo θ alrededor del eje definido por ê ₃ " tiene la representación matricial

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Y_ {1} \\ Y_ {2} \\ Y_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \ \\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} X_ {1} \\ X_ {2} \\ X_ {3} \ end {bmatrix}}}$

relativo a este sistema de vector base. Esto entonces significa que un vector

${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ begin {bmatrix} {\ hat {e}} _ {1} & {\ hat {e}} _ {2} & {\ hat {e}} _ { 3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} X_ {1} \\ X_ {2} \\ X_ {3} \ end {bmatrix}}}$

se rota al vector

${\ displaystyle {\ bar {y}} = {\ begin {bmatrix} {\ hat {e}} _ {1} & {\ hat {e}} _ {2} & {\ hat {e}} _ { 3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} Y_ {1} \\ Y_ {2} \\ Y_ {3} \ end {bmatrix}}}$

por el operador lineal. El determinante de esta matriz es

${\ Displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} = 1,}$

y el polinomio característico es

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ det {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta - \ lambda & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta - \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1- \ lambda \ end {bmatrix}} & = \ left (\ left (\ cos \ theta - \ lambda \ right) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ right) (1- \ lambda) \\ & = - \ lambda ^ {3} + (2 \ cos \ theta +1) \ lambda ^ {2} - (2 \ cos \ theta +1) \ lambda +1 \\\ end {alineado}}.}$

La matriz es simétrica si y solo si sin θ = 0 , es decir, para θ = 0 y θ = π . El caso θ = 0 es el caso trivial de un operador de identidad. Para el caso θ = π el polinomio característico es

${\ Displaystyle - (\ lambda -1) \ left (\ lambda +1 \ right) ^ {2},}$

por lo que el operador de rotación tiene los valores propios

${\ Displaystyle \ lambda = 1, \ quad \ lambda = -1.}$

El espacio propio correspondiente a λ = 1 son todos los vectores en el eje de rotación, es decir, todos los vectores

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alpha {\ hat {e}} _ {3}, \ quad - \ infty <\ alpha <\ infty.}$

El espacio propio correspondiente a λ = −1 consta de todos los vectores ortogonales al eje de rotación, es decir, todos los vectores

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alpha {\ hat {e}} _ {1} + \ beta {\ hat {e}} _ {2}, \ quad - \ infty <\ alpha <\ infty , \ quad - \ infty <\ beta <\ infty.}$

Para todos los demás valores de θ, la matriz no es simétrica y como sen ² θ > 0 solo existe el valor propio λ = 1 con el espacio propio unidimensional de los vectores en el eje de rotación:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alpha {\ hat {e}} _ {3}, \ quad - \ infty <\ alpha <\ infty.}$

La matriz de rotación por ángulo θ alrededor de un eje general de rotación k viene dada por la fórmula de rotación de Rodrigues .

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {I} \ cos \ theta + [\ mathbf {k}] _ {\ times} \ sin \ theta + (1- \ cos \ theta) \ mathbf {k} \ mathbf {k} ^ {\ mathsf {T}},}$

donde I es la matriz identidad y [ k ] _× es la forma dual 2 de k o matriz de productos cruzados ,

${\ displaystyle [\ mathbf {k}] _ {\ times} = {\ begin {bmatrix} 0 & -k_ {3} & k_ {2} \\ k_ {3} & 0 & -k_ {1} \\ - k_ {2 } & k_ {1} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que [ k ] _× satisface [ k ] _× v = k × v para todos los vectores v .

El caso general

El operador "rotación por ángulo θ alrededor de un eje especificado" discutido anteriormente es un mapeo ortogonal y su matriz relativa a cualquier sistema de vector base es por lo tanto una matriz ortogonal . Además su determinante tiene el valor 1. Un hecho no trivial es el opuesto, que para cualquier mapeo lineal ortogonal en R ³ con determinante 1 existen vectores base ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ tales que la matriz toma la "forma canónica "

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

por algún valor de θ . De hecho, si un operador lineal tiene la matriz ortogonal

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} \ end {bmatrix}}}$

relativo a algún sistema de vector base ( f̂ ₁ , f̂ ₂ , f̂ ₃ ) y esta matriz es simétrica, el "teorema del operador simétrico" válido en R ⁿ (cualquier dimensión) se aplica diciendo que tiene n vectores propios ortogonales. Esto significa para el caso tridimensional que existe un sistema de coordenadas ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ tal que la matriz toma la forma

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} B_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & B_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & B_ {33} \ end {bmatrix}}.}$

Como es una matriz ortogonal, estos elementos diagonales B _ii son 1 o -1. Como el determinante es 1, estos elementos son todos 1 o uno de los elementos es 1 y los otros dos son -1. En el primer caso es el operador de identidad trivial correspondiente a θ = 0 . En el segundo caso tiene la forma

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

si los vectores base están numerados de manera que el que tiene el valor propio 1 tiene el índice 3. Esta matriz tiene entonces la forma deseada para θ = π .

Si la matriz es asimétrica, el vector

${\ displaystyle {\ bar {E}} = \ alpha _ {1} {\ hat {f}} _ {1} + \ alpha _ {2} {\ hat {f}} _ {2} + \ alpha _ {3} {\ hat {f}} _ {3},}$

dónde

${\ Displaystyle \ alpha _ {1} = {\ frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}}, \ quad \ alpha _ {2} = {\ frac {A_ {13} -A_ {31 }} {2}}, \ quad \ alpha _ {3} = {\ frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}}}$

es distinto de cero. Este vector es un vector propio con valor propio λ = 1 . Configuración

${\ Displaystyle {\ hat {e}} _ {3} = {\ frac {\ bar {E}} {| {\ bar {E}} |}}}$

y seleccionando dos vectores unitarios ortogonales cualesquiera ê ₁ y ê ₂ en el plano ortogonal a ê ₃ tal que ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ formen un triple de orientación positiva, el operador toma la forma deseada con

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ cos \ theta & = {\ frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}}, \\\ sin \ theta & = | {\ bar {E}} |. \ end {alineado}}}$

De hecho, las expresiones anteriores también son válidas para el caso de un operador de rotación simétrica correspondiente a una rotación con θ = 0 o θ = π . Pero la diferencia es que para θ = π el vector

${\ displaystyle {\ bar {E}} = \ alpha _ {1} {\ hat {f}} _ {1} + \ alpha _ {2} {\ hat {f}} _ {2} + \ alpha _ {3} {\ hat {f}} _ {3}}$

es cero y no sirve para encontrar el espacio propio del valor propio 1, y de ahí el eje de rotación.

Definiendo E ₄ como cos θ, la matriz para el operador de rotación es

${\ Displaystyle {\ frac {1-E_ {4}} {E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} E_ {1} E_ {1} & E_ {1} E_ {2} & E_ {1} E_ {3} \\ E_ {2} E_ {1} & E_ {2} E_ {2} & E_ {2} E_ {3} \ \ E_ {3} E_ {1} & E_ {3} E_ {2} & E_ {3} E_ {3} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} E_ {4} & - E_ {3} & E_ { 2} \\ E_ {3} & E_ {4} & - E_ {1} \\ - E_ {2} & E_ {1} & E_ {4} \ end {bmatrix}},}$

siempre que

${\ Displaystyle E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}> 0.}$

es decir, excepto para los casos θ = 0 (el operador de identidad) y θ = π .

Cuaterniones

Los cuaterniones se definen de forma similar a E ₁ , E ₂ , E ₃ , E ₄ con la diferencia de que la mitad del ángulo θ / 2 se utiliza en lugar del ángulo completo θ . Esto significa que los primeros 3 componentes q ₁ , q ₂ , q ₃ componentes de un vector definido por

${\ Displaystyle q_ {1} {\ hat {f}} _ {1} + q_ {2} {\ hat {f}} _ {2} + q_ {3} {\ hat {f}} _ {1} = \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ quad {\ hat {e}} _ {3} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}} {\ sin \ theta}}, \ quad {\ bar {E}},}$

y que el cuarto componente es el escalar

${\ Displaystyle q_ {4} = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}.}$

Como el ángulo θ definido de la forma canónica está en el intervalo

${\ Displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi,}$

normalmente se tendría q ₄ ≥ 0 . Pero se utiliza una representación "dual" de una rotación con cuaterniones, es decir ( q ₁ , q ₂ , q ₃ , q ₄ )}} y (- q ₁ , - q ₂ , - ' q ₃ , - q ₄ ) son dos representaciones alternativas de una misma rotación.

Las entidades E _k se definen a partir de los cuaterniones por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} E_ {1} & = 2q_ {4} q_ {1}, \ quad E_ {2} = 2q_ {4} q_ {2}, \ quad E_ {3} = 2q_ {4 } q_ {3}, \\ [8px] E_ {4} & = q_ {4} ^ {2} - \ left (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3 } ^ {2} \ right). \ End {alineado}}}$

Usando cuaterniones, la matriz del operador de rotación es

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 \ left (q_ {1} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} \ right) -1 y 2 \ left (q_ {1} q_ {2} -q_ {3 } q_ {4} \ right) & 2 \ left (q_ {1} q_ {3} + q_ {2} q_ {4} \ right) \\ 2 \ left (q_ {1} q_ {2} + q_ {3 } q_ {4} \ right) & 2 \ left (q_ {2} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} \ right) -1 & 2 \ left (q_ {2} q_ {3} -q_ {1} q_ {4} \ right) \\ 2 \ left (q_ {1} q_ {3} -q_ {2} q_ {4} \ right) & 2 \ left (q_ {2} q_ {3} + q_ {1} q_ {4} \ right) & 2 \ left (q_ {3} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} \ right) -1 \ end {bmatrix}}.}$

Ejemplo numérico

Considere la reorientación correspondiente a los ángulos de Euler α = 10 ° , β = 20 ° , γ = 30 ° en relación con un sistema de vector base dado ( f̂ ₁ , f̂ ₂ , f̂ ₃ ) . La matriz correspondiente relativa a este sistema de vector base es (ver ángulos de Euler # Orientación de la matriz )

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0.771281 & -0.633718 & 0.059391 \\ 0.613092 & 0.714610 & -0.336824 \\ 0.171010 & 0.296198 & 0.939693 \ end {bmatrix}},}$

y el cuaternion es

${\ displaystyle (0.171010, -0.030154,0.336824,0.925417).}$

La forma canónica de este operador

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

con θ = 44.537 ° se obtiene con

${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {3} = (0.451272, -0.079571,0.888832).}$

El cuaternión relativo a este nuevo sistema es entonces

${\ displaystyle (0,0,0.378951,0.925417) = \ left (0,0, \ sin {\ frac {\ theta} {2}}, \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right) .}$

En lugar de hacer las tres rotaciones de Euler 10 °, 20 °, 30 °, se puede alcanzar la misma orientación con una sola rotación de 44,537 ° alrededor de ê ₃ .

Referencias

• Shilov, Georgi (1961), Introducción a la teoría de los espacios lineales , Prentice-Hall, Biblioteca del Congreso 61-13845 .