En matemáticas, los métodos de simetrización son algoritmos para transformar un conjunto en una bola con el mismo volumen y centrada en el origen. B se llama la versión simétrizada de A , generalmente denotada . Estos algoritmos se muestran al resolver el problema clásico de desigualdad isoperimétrica , que pregunta: Dadas todas las formas bidimensionales de un área determinada, cuál de ellas tiene el perímetro mínimo (para más detalles, consulte Desigualdad isoperimétrica ). La respuesta conjeturada fue el disco y Steiner en 1838 demostró que esto era cierto utilizando el método de simetrización de Steiner (descrito a continuación). De esto surgieron muchos otros problemas isoperimétricos y otros algoritmos de simetrización. Por ejemplo, la conjetura de Rayleigh es que el primer valor propio del problema de Dirichlet se minimiza para la pelota (consulte la desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn para obtener detalles). Otro problema es que la capacidad newtoniana de un conjunto A se minimiza y esto lo demostraron Polya y G. Szego (1951) mediante la simetrización circular (que se describe a continuación).
Si es medible, entonces se denota mediante la versión simétrica de, es decir, una pelota tal que . Denotamos por el reordenamiento decreciente simétrico de la función medible no negativa f y la definimos como , donde es la versión simétrica del conjunto de preimágenes . Los métodos descritos a continuación se han demostrado para transformar a es decir, considerando una secuencia de transformaciones de simetrización hay , donde es la distancia Hausdorff (para la discusión y pruebas ver Burchard (2009) )
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Simetrización Steiner
Steiner Simetrización de conjunto
La simetrización de Steiner fue introducida por Steiner (1838) para resolver el teorema isoperimétrico mencionado anteriormente. Sea un hiperplano a través del origen. Espacio girar de modo que es el ( es el n ° de coordenadas en ) hiperplano. Para cada dejar que la línea perpendicular a través de be . Luego, reemplazando cada uno por una línea centrada en H y con longitud , obtenemos la versión simétrizada de Steiner.
Se denota mediante la simetrización de Steiner wrt a hiperplano de función medible no negativa y para fijo definirlo como
Propiedades
Conserva la convexidad: si es convexo, entonces también es convexo.
Es lineal: .
Super-aditivo: .
Simetrización circular
Simetrización circular del conjunto
Un método popular de simetrización en el plano es la simetrización circular de Polya. Posteriormente, se describirá su generalización a dimensiones superiores. Sea un dominio; entonces su simetrización circular con respecto al eje real positivo se define como sigue:
es decir, contienen los arcos de radio t contenidos en . Entonces esta definido
Si es el círculo completo, entonces .
Si la longitud es , entonces .
iff .
En dimensiones superiores , su simetrización esférica con respecto al eje positivo de se define de la siguiente manera: Sea,
es decir, contenga las tapas de radio r contenidas en . Además, para la primera coordenada sea if . Así que como arriba
Si es el límite completo, entonces .
Si el área de la superficie es , entonces y dónde se elige para que sea su área de superficie . En palabras, es una tapa simétrica alrededor del eje positivo con la misma área que la intersección .
iff .
Polarización
Polarización del conjunto
Sea un dominio y sea un hiperplano a través del origen. Denote la reflexión a través de ese plano al semiespacio positivo como o simplemente cuando sea claro en el contexto. Además, el hiperplano H reflejado a través se define como . Entonces, el polarizado se denota y se define como sigue
Si , entonces .
Si , entonces .
Si , entonces .
En palabras, simplemente se refleja en el medio espacio . Resulta que esta transformación puede aproximarse a las anteriores (en la distancia de Hausdorff ) (ver Brock y Solynin (2000) ).
Referencias
Morgan, Frank (2009). "Simetrización" . Consultado en noviembre de 2015 . Verifique los valores de fecha en: |accessdate=( ayuda )
Kojar, Tomas (2015). "Movimiento browniano y simetrización". arXiv : 1505.01868 .
Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000), "Un enfoque de la simetrización a través de la polarización", Transactions of the American Mathematical Society , 352 : 1759-1796, doi : 10.1090 / S0002-9947-99-02558-1 , MR 1695019