Matriz de transición de estado - State-transition matrix

En la teoría de control , la matriz de transición de estado es una matriz cuyo producto con el vector de estado en un momento inicial da en un momento posterior . La matriz de transición de estado se puede utilizar para obtener la solución general de sistemas dinámicos lineales. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t_ {0}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t}$

Soluciones de sistemas lineales

La matriz de transición de estado se utiliza para encontrar la solución a una representación general en el espacio de estados de un sistema lineal en la siguiente forma

${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} (t) \ mathbf {u} (t ), \; \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}$,

donde están los estados del sistema, es la señal de entrada, y son funciones matriciales , y es la condición inicial en . Usando la matriz de transición de estado , la solución viene dada por: ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$${\ Displaystyle t_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0}) \ mathbf {x} (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t } \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) \ mathbf {B} (\ tau) \ mathbf {u} (\ tau) d \ tau}$

El primer término se conoce como respuesta de entrada cero y representa cómo evolucionaría el estado del sistema en ausencia de cualquier entrada. El segundo término se conoce como respuesta de estado cero y define cómo las entradas impactan en el sistema.

Serie Peano – Baker

La matriz de transición más general viene dada por la serie de Peano – Baker

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) = \ mathbf {I} + \ int _ {\ tau} ^ {t} \ mathbf {A} (\ sigma _ {1}) \, d \ sigma _ {1} + \ int _ {\ tau} ^ {t} \ mathbf {A} (\ sigma _ {1}) \ int _ {\ tau} ^ {\ sigma _ {1}} \ mathbf {A } (\ sigma _ {2}) \, d \ sigma _ {2} \, d \ sigma _ {1} + \ int _ {\ tau} ^ {t} \ mathbf {A} (\ sigma _ {1 }) \ int _ {\ tau} ^ {\ sigma _ {1}} \ mathbf {A} (\ sigma _ {2}) \ int _ {\ tau} ^ {\ sigma _ {2}} \ mathbf { A} (\ sigma _ {3}) \, d \ sigma _ {3} \, d \ sigma _ {2} \, d \ sigma _ {1} + ...}$

donde está la matriz de identidad . Esta matriz converge de manera uniforme y absoluta a una solución que existe y es única. ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$

Otras propiedades

La matriz de transición de estado satisface las siguientes relaciones: ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$

1. Es continuo y tiene derivadas continuas.

2, nunca es singular; de hecho y dónde está la matriz de identidad. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} ^ {- 1} (t, \ tau) = \ mathbf {\ Phi} (\ tau, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} ^ {- 1} (t, \ tau) \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) = I}$${\ Displaystyle I}$

3. para todos . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, t) = I}$${\ Displaystyle t}$

4. para todos . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t_ {2}, t_ {1}) \ mathbf {\ Phi} (t_ {1}, t_ {0}) = \ mathbf {\ Phi} (t_ {2}, t_ {0})}$${\ Displaystyle t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq t_ {2}}$

5. Satisface la ecuación diferencial con condiciones iniciales . ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0})} {\ parcial t}} = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {\ Phi} (t, t_ { 0})}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t_ {0}, t_ {0}) = I}$

6. La matriz de transición de estado , dada por ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) \ equiv \ mathbf {U} (t) \ mathbf {U} ^ {- 1} (\ tau)}$

donde la matriz es la solución fundamental matriz que satisface ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle \ mathbf {U} (t)}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {U}}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {U} (t)}$con estado inicial .${\ Displaystyle \ mathbf {U} (t_ {0}) = I}$

7. Dado el estado en cualquier momento , el estado en cualquier otro momento viene dado por el mapeo. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) \ mathbf {x} (\ tau)}$

Estimación de la matriz de transición de estados

En el caso invariante en el tiempo , podemos definir , usando la matriz exponencial , como . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0}) = e ^ {\ mathbf {A} (t-t_ {0})}}$

En la variante en el tiempo caso, la matriz de transición de estados se puede estimar a partir de las soluciones de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas por , , ..., . Las soluciones correspondientes proporcionan las columnas de la matriz . Ahora, de la propiedad 4, para todos . La matriz de transición de estado debe determinarse antes de que pueda continuar el análisis de la solución variable en el tiempo. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0})}$${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {u}}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {u} (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} (t_ {0})}$${\ Displaystyle [1, \ 0, \ \ ldots, \ 0] ^ {T}}$${\ Displaystyle [0, \ 1, \ \ ldots, \ 0] ^ {T}}$${\ Displaystyle [0, \ 0, \ \ ldots, \ 1] ^ {T}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0})}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (t, \ tau) = \ mathbf {\ Phi} (t, t_ {0}) \ mathbf {\ Phi} (\ tau, t_ {0}) ^ {- 1} }$${\ Displaystyle t_ {0} \ leq \ tau \ leq t}$

Ver también

• Expansión magnus
• Fórmula de Liouville

Referencias

Otras lecturas

• Baake, M .; Schlaegel, U. (2011). "La serie Peano Baker". Actas del Instituto de Matemáticas Steklov . 275 : 155-159. doi : 10.1134 / S0081543811080098 . S2CID  119133539 .
• Brogan, WL (1991). Teoría del control moderno . Prentice Hall. ISBN 0-13-589763-7.