Paradoja de San Petersburgo - St. Petersburg paradox

La paradoja de San Petersburgo se enmarca típicamente en términos de apuestas sobre el resultado de lanzamientos justos de monedas.

La paradoja de San Petersburgo o lotería de San Petersburgo es una paradoja relacionada con la teoría de la probabilidad y la decisión en economía . Se basa en un juego de lotería teórico que conduce a una variable aleatoria con un valor esperado infinito (es decir, una recompensa esperada infinita) pero, sin embargo, parece tener un valor muy pequeño para los participantes. La paradoja de San Petersburgo es una situación en la que un criterio de decisión ingenuo que solo toma en cuenta el valor esperado predice un curso de acción que presumiblemente ninguna persona real estaría dispuesta a tomar. Se han propuesto varias resoluciones a la paradoja.

La paradoja toma su nombre del análisis de Daniel Bernoulli , antiguo residente de la ciudad rusa del mismo nombre , quien publicó sus argumentos en los Comentarios de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo ( Bernoulli 1738 ). Sin embargo, el problema fue inventado por el primo de Daniel, Nicolas Bernoulli , quien lo declaró por primera vez en una carta a Pierre Raymond de Montmort el 9 de septiembre de 1713 ( de Montmort 1713 ).

El partido de San Petersburgo

Un casino ofrece un juego de azar para un solo jugador en el que se lanza una moneda justa en cada etapa. La apuesta inicial comienza en 2 dólares y se duplica cada vez que aparece cara. La primera vez que aparece cruz, el juego termina y el jugador gana lo que haya en el bote. Así, el jugador gana 2 dólares si sale cruz en el primer lanzamiento, 4 dólares si aparece cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo, 8 dólares si aparece cara en los dos primeros lanzamientos y cruz en el tercero, y así sucesivamente. Matemáticamente, el jugador gana dólares, donde es el número de lanzamientos de cabeza consecutivos. ¿Cuál sería el precio justo a pagar al casino por ingresar al juego?

Para responder a esto, es necesario considerar cuál sería el pago esperado en cada etapa: con probabilidad 1/2, el jugador gana 2 dólares; con probabilidad1/4el jugador gana 4 dólares; con probabilidad1/8el jugador gana 8 dólares y así sucesivamente. Suponiendo que el juego puede continuar mientras el lanzamiento de la moneda dé como resultado cara y, en particular, que el casino tenga recursos ilimitados, el valor esperado es

Esta suma crece sin límite , por lo que la ganancia esperada es una cantidad infinita de dinero.

La paradoja

Considerando nada más que el valor esperado del cambio neto en la riqueza monetaria de uno, uno debería por lo tanto jugar el juego a cualquier precio si se le ofrece la oportunidad. Sin embargo, Daniel Bernoulli , después de describir el juego con una apuesta inicial de un ducado , declaró: "Aunque el cálculo estándar muestra que el valor de la expectativa [del jugador] es infinitamente grande, debe ... admitirse que cualquier hombre razonable Vendería su oportunidad, con mucho gusto, por veinte ducados ". Robert Martin cita a Ian Hacking diciendo que "pocos de nosotros pagaríamos incluso $ 25 para participar en un juego así" y dice que la mayoría de los comentaristas estarían de acuerdo. La paradoja es la discrepancia entre lo que la gente parece estar dispuesta a pagar para entrar al juego y el valor esperado infinito.

Soluciones

Se han propuesto varios enfoques para resolver la paradoja.

Teoría de la utilidad esperada

La resolución clásica de la paradoja implicó la introducción explícita de una función de utilidad , una hipótesis de utilidad esperada y la presunción de una utilidad marginal decreciente del dinero.

En palabras del propio Daniel Bernoulli:

La determinación del valor de un artículo no debe basarse en el precio, sino en la utilidad que rinde ... No hay duda de que una ganancia de mil ducados es más significativa para el pobre que para el rico, aunque ambos ganar la misma cantidad.

Un modelo de utilidad común, sugerido por el propio Bernoulli, es la función logarítmica U ( w ) = ln ( w ) (conocida como utilidad logarítmica ). Es una función de la riqueza total del jugador w , y el concepto de utilidad marginal decreciente del dinero está incorporado en él. La hipótesis de la utilidad esperada postula que existe una función de utilidad que proporciona un buen criterio para el comportamiento de las personas reales; es decir, una función que devuelve un valor positivo o negativo que indica si la apuesta es una buena apuesta. Para cada evento posible, el cambio en la utilidad ln (riqueza después del evento) - ln (riqueza antes del evento) será ponderado por la probabilidad de que ocurra ese evento. Sea c el costo que se cobra para ingresar al juego. La utilidad incremental esperada de la lotería ahora converge a un valor finito:

Esta fórmula da una relación implícita entre la riqueza del jugador y cuánto debería estar dispuesto a pagar (específicamente, cualquier c que dé un cambio positivo en la utilidad esperada). Por ejemplo, con la utilidad de registro natural, un millonario ($ 1,000,000) debería estar dispuesto a pagar hasta $ 20,88, una persona con $ 1,000 debería pagar hasta $ 10,95, una persona con $ 2 debería pedir prestado $ 1,35 y pagar hasta $ 3,35.

Antes de que Daniel Bernoulli publicara, en 1728, un matemático de Ginebra , Gabriel Cramer , ya había encontrado partes de esta idea (también motivada por la paradoja de San Petersburgo) al afirmar que

los matemáticos estiman el dinero en proporción a su cantidad, y los hombres de buen sentido en proporción al uso que pueden hacer de él.

Demostró en una carta a Nicolas Bernoulli que una función de raíz cuadrada que describe el beneficio marginal decreciente de las ganancias puede resolver el problema. Sin embargo, a diferencia de Daniel Bernoulli, no consideró la riqueza total de una persona, sino solo la ganancia de la lotería.

Esta solución de Cramer y Bernoulli, sin embargo, no es completamente satisfactoria, ya que la lotería se puede cambiar fácilmente de tal manera que reaparezca la paradoja. Para lograr este objetivo, solo tenemos que cambiar el juego para que proporcione beneficios cada vez más rápidos. Para cualquier función de utilidad ilimitada, se puede encontrar una lotería que permita una variante de la paradoja de San Petersburgo, como fue señalado por primera vez por Menger ( Menger 1934 ).

Recientemente, la teoría de la utilidad esperada se ha ampliado para llegar a modelos de decisión más conductuales . En algunas de estas nuevas teorías, como en la teoría de la perspectiva acumulativa , la paradoja de San Petersburgo vuelve a aparecer en ciertos casos, incluso cuando la función de utilidad es cóncava, pero no si está acotada ( Rieger y Wang 2006 ).

Ponderación de probabilidad

El propio Nicolas Bernoulli propuso una idea alternativa para resolver la paradoja. Conjeturó que la gente descuidará eventos poco probables ( de Montmort 1713 ). Dado que en la lotería de San Petersburgo solo los eventos improbables producen los altos premios que conducen a un valor esperado infinito, esto podría resolver la paradoja. La idea de la ponderación probabilística resurgió mucho más tarde en el trabajo sobre teoría prospectiva de Daniel Kahneman y Amos Tversky . Paul Weirich, escribió de manera similar que la aversión al riesgo podría resolver la paradoja. Weirich continuó escribiendo que aumentar el premio en realidad disminuye la posibilidad de que alguien pague para jugar, afirmando que "hay un número de pájaros en la mano que vale más que cualquier número de pájaros en el monte". Sin embargo, esto ha sido rechazado por algunos teóricos porque, como señalan, algunas personas disfrutan del riesgo de apostar y porque es ilógico asumir que aumentar el premio conllevará más riesgos.

La teoría de la perspectiva acumulativa es una generalización popular de la teoría de la utilidad esperada que puede predecir muchas regularidades de comportamiento ( Tversky y Kahneman 1992 ). Sin embargo, la sobreponderación de los eventos de pequeña probabilidad introducida en la teoría de la perspectiva acumulativa puede restaurar la paradoja de San Petersburgo. La teoría de la perspectiva acumulativa evita la paradoja de San Petersburgo solo cuando el coeficiente de potencia de la función de utilidad es menor que el coeficiente de potencia de la función de ponderación de probabilidad ( Blavatskyy 2005 ). Intuitivamente, la función de utilidad no debe ser simplemente cóncava, sino que debe ser cóncava en relación con la función de ponderación de probabilidad para evitar la paradoja de San Petersburgo. Se puede argumentar que las fórmulas para la teoría prospectiva se obtienen en la región de menos de $ 400 ( Tversky y Kahneman 1992 ). Esto no es aplicable a sumas infinitamente crecientes en la paradoja de San Petersburgo.

Loterías finitas de San Petersburgo

El juego clásico de San Petersburgo asume que el casino o el banquero tiene recursos infinitos. Esta suposición ha sido cuestionada durante mucho tiempo por ser poco realista. Alexis Fontaine des Bertins señaló en 1754 que los recursos de cualquier patrocinador potencial del juego son finitos. Más importante aún, el valor esperado del juego solo crece logarítmicamente con los recursos del casino. Como resultado, el valor esperado del juego, incluso cuando se juega contra un casino con los fondos más grandes imaginables de manera realista, es bastante modesto. En 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon calculó que después de 29 rondas de juego no habría suficiente dinero en el Reino de Francia para cubrir la apuesta.

Si el casino tiene recursos limitados, el juego debe terminar una vez que se agoten esos recursos. Suponga que los recursos totales (o el premio mayor máximo) del casino son W dólares (más generalmente, W se mide en unidades de la mitad de la apuesta inicial del juego). Entonces, el número máximo de veces que el casino puede jugar antes de que ya no pueda cubrir completamente la siguiente apuesta es L = piso (log 2 ( W )). Suponiendo que el juego termina cuando el casino ya no puede cubrir la apuesta, el valor esperado E de la lotería se convierte en:

La siguiente tabla muestra el valor esperado E del juego con varios banqueros potenciales y sus fondos W :

Banquero Financiar Valor esperado
de un juego
Millonario $ 1,050,000 $ 20
Multimillonario $ 1,075,000,000 $ 30
Jeff Bezos (enero de 2021) $ 179,000,000,000 $ 37
PIB de EE. UU. (2020) $ 20,8 billones $ 44
PIB mundial (2020) $ 83,8 billones $ 46
Billon-billonario $ 10 18 $ 59
Googolonario $ 10 100 $ 332

Nota: Según las reglas del juego, que especifican que si el jugador gana más que los fondos del casino, se le pagará todo lo que tiene el casino, el valor adicional esperado es menor de lo que sería si el casino tuviera fondos suficientes para cubrir una ronda más, es decir, menos. de $ 1.

La premisa de los recursos infinitos produce una variedad de aparentes paradojas en economía. En el sistema de apuestas martingala , un jugador que apuesta a una moneda lanzada duplica su apuesta después de cada pérdida para que una eventual ganancia cubra todas las pérdidas; este sistema falla con cualquier presupuesto finito. El concepto de ruina del jugador muestra que un jugador persistente que aumenta su apuesta a una fracción fija de su bankroll cuando gana, pero no reduce su apuesta cuando pierde, eventualmente e inevitablemente se arruinará, incluso si el juego tiene un valor esperado positivo . .

Rechazo de la expectativa matemática

Varios autores, incluidos Jean le Rond d'Alembert y John Maynard Keynes , han rechazado la maximización de la expectativa (incluso de la utilidad) como una regla de conducta adecuada. Keynes, en particular, insistió en que el riesgo relativo de una alternativa podría ser lo suficientemente alto como para rechazarla incluso si sus expectativas eran enormes. Recientemente, algunos investigadores han sugerido reemplazar el valor esperado por la mediana como valor razonable.

Discusiones recientes

Aunque esta paradoja tiene tres siglos, todavía se han introducido nuevos argumentos en los últimos años.

Feller

William Feller ofreció una solución que implicaba el muestreo . Intuitivamente, la respuesta de Feller es "realizar este juego con un gran número de personas y calcular el valor esperado a partir de la extracción de la muestra". En este método, cuando los juegos de un número infinito de veces son posibles, el valor esperado será infinito, y en el caso de finito, el valor esperado será un valor mucho menor.

Samuelson

Paul Samuelson resuelve la paradoja ( Samuelson (1960) ) argumentando que, incluso si una entidad tuviera recursos infinitos, el juego nunca se ofrecería. Si la lotería representa una ganancia esperada infinita para el jugador, entonces también representa una pérdida esperada infinita para el anfitrión. No se podía observar a nadie pagando para jugar el juego porque nunca se ofrecería. Como Samuelson resumió el argumento: "Paul nunca estará dispuesto a dar tanto como Peter exigirá por tal contrato; y por lo tanto, la actividad indicada tendrá lugar en el nivel de equilibrio de intensidad cero".

Peters

Ole Peters ( Peters 2011a ) resolvió la paradoja calculando el rendimiento promedio en el tiempo de la lotería, argumentando que el rendimiento esperado debe evaluarse en el período limitado en el que probablemente podamos tomar nuestras decisiones. Esta solución tiene características no ergódicas .

Ver también

notas y referencias

Citas
Trabajos citados
  • Buffon, GLL (1777). "Essai d'Arithmétique Motale". Suplementos a l'Histoire Naturelle, T. IV : 46-14. Reimpreso en '' Oeuvres Philosophiques de Buffon '', París, 1906, citado en Dutka, 1988
  • Feller, William. Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones Volumen I .
  • Fontaine, Alexix (1764). "Solution d'un problème sur les jeux de hasard". Mémoires donnés à l'Académie Royale des Sciences : 429–431. citado en Dutka, 1988
  • Jeffrey, Richard C. (1983). La lógica de la decisión (2 ed.). Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago.

Bibliografía

  • Haigh, John (1999). Arriesgando . Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. págs.  330 . ISBN 978-0198526636.(Capítulo 4)
  • Sen, PK; Cantante, JM (1993). Métodos de muestras grandes en estadística. Una introducción con aplicaciones . Nueva York: Springer. ISBN 978-0412042218.

enlaces externos