El sueño del estudiante de segundo año - Sophomore's dream

En matemáticas, el sueño del estudiante de segundo año es el par de identidades (especialmente la primera)

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- n} \\ \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1 } n ^ {- n} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- n) ^ {- n} \ end {alineado}}}$

descubierto en 1697 por Johann Bernoulli .

Los valores numéricos de estas constantes son aproximadamente 1,291285997 ... y 0,7834305107 ..., respectivamente.

El nombre "sueño de estudiante de segundo año" contrasta con el nombre de " sueño de estudiante de primer año " que se le da a la identidad incorrecta ( x  +  y ) ⁿ  =  x ⁿ  +  y ⁿ . El sueño del estudiante de segundo año tiene una sensación similar de demasiado bueno para ser verdad, pero es cierto.

Prueba

Gráfico de las funciones y  =  x ^x (rojo, inferior) e y  =  x ^{- x} (gris, superior) en el intervalo x  ∈ (0, 1].

Las pruebas de las dos identidades son completamente análogas, por lo que aquí solo se presenta la prueba de la segunda. Los ingredientes clave de la prueba son:

• escribir x ^x = exp ( x  ln  x ) (usando la notación exp ( t ) para la función exponencial e ^t en base e );
• para expandir exp ( x  ln  x ) usando la serie de potencias para exp; y
• para integrar en términos de términos, utilizando la integración por sustitución .

En detalle, uno expande x ^x como

${\ Displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ ln x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {¡norte!}}.}$

Por lo tanto, ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}$

Mediante la convergencia uniforme de la serie de potencias, se pueden intercambiar la suma y la integración para producir

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}$

Para evaluar las integrales anteriores, se puede cambiar la variable en la integral mediante la sustitución.Con esta sustitución, los límites de integración se transforman para dar la identidad ${\ Displaystyle x = \ exp \ left (- {\ frac {u} {n + 1}} \ right).}$${\ Displaystyle 0 <u <\ infty,}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ ln x) ^ {n} \, dx = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du.}$

Por la identidad integral de Euler para la función Gamma , uno tiene

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du = n!}$

así que eso

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx = (- 1) ^ {n} ( n + 1) ^ {- (n + 1)}.}$

Sumar estos (y cambiar la indexación para que comience en n  = 1 en lugar de n  = 0) produce la fórmula.

Prueba histórica

La demostración original, dada en Bernoulli, y presentada en forma modernizada en Dunham, difiere de la anterior en cómo se calcula la integral por términos , pero por lo demás es la misma, omitiendo detalles técnicos para justificar los pasos (como la integración por términos). En lugar de integrar por sustitución, produciendo la función Gamma (que aún no se conocía), Bernoulli usó la integración por partes para calcular iterativamente estos términos. ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ ln x) ^ {n} \, dx}$

La integración por partes procede de la siguiente manera, variando los dos exponentes de forma independiente para obtener una recursividad. Una integral indefinida se calcula inicialmente, omitiendo la constante de integración tanto porque esto se hizo históricamente como porque desaparece al calcular la integral definida. Uno puede integrar mediante la adopción de u = (ln x ) ⁿ y dv = x ^m dx , lo que da: ${\ Displaystyle + C}$${\ Displaystyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx & = {\ frac {x ^ {m + 1} (\ ln x) ^ {n}} {m + 1}} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m + 1} {\ frac {(\ ln x) ^ {n-1}} {x}} \, dx \ qquad {\ text {(para}} m \ neq -1 {\ text {)}} \\ & = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} (\ ln x) ^ {n} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n-1} \, dx \ qquad {\ text {(para}} m \ neq -1 {\ text {)}} \ end {alineado}}}$

(también en la lista de integrales de funciones logarítmicas ). Esto reduce la potencia del logaritmo en el integrando en 1 (de a ) y, por lo tanto, se puede calcular la integral inductivamente , como ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n-1}$

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(m + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}}$

donde ( n ) _i denota el factorial descendente ; hay una suma finita porque la inducción se detiene en 0, ya que n es un número entero.  

En este caso m  =  n , y son enteros, entonces

${\ Displaystyle \ int x ^ {n} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(n + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}.}$

Integrando de 0 a 1, todos los términos desaparecen excepto el último término en 1, que da como resultado:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx = {\ frac {1} {n! }} {\ frac {1 ^ {n + 1}} {n + 1}} (- 1) ^ {n} {\ frac {(n) _ {n}} {(n + 1) ^ {n} }} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)}.}$

Esto es equivalente a calcular la identidad integral de Euler para la función Gamma en un dominio diferente (correspondiente a variables cambiantes por sustitución), ya que la propia identidad de Euler también se puede calcular mediante una integración análoga por partes. ${\ Displaystyle \ Gamma (n + 1) = n!}$

Ver también

• Serie (matemáticas)

Notas

Referencias

Fórmula

Función

Notas al pie