Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein - Solutions of the Einstein field equations

Cuando corresponda, este artículo utilizará la notación de índice abstracto .

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son espaciotiempo que resultan de resolver las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) de la relatividad general . Resolver las ecuaciones de campo da una variedad de Lorentz . Las soluciones se clasifican en general como exactas o no exactas .

Las ecuaciones de campo de Einstein son

{\ Displaystyle G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \, = \ kappa T_ {ab},}

donde es el tensor de Einstein , es la constante cosmológica (a veces se considera cero por simplicidad), es el tensor métrico , es una constante y es el tensor de tensión-energía . ${\ Displaystyle G_ {ab}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle g_ {ab}}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle T_ {ab}}$

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Einstein con el tensor de tensión-energía, que representa la distribución de energía, momento y tensión en la variedad del espacio-tiempo. El tensor de Einstein se construye a partir del tensor métrico y sus derivadas parciales; por lo tanto, dado el tensor esfuerzo-energía, las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales en las que se puede resolver el tensor métrico.

Resolviendo las ecuaciones

Es importante darse cuenta de que las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no son suficientes para determinar la evolución de un sistema gravitacional en muchos casos. Dependen del tensor estrés-energía , que depende de la dinámica de la materia y la energía (como las trayectorias de las partículas en movimiento), que a su vez depende del campo gravitacional. Si uno solo está interesado en el límite de campo débil de la teoría, la dinámica de la materia se puede calcular usando métodos de relatividad especial y / o leyes de gravedad newtonianas y luego el tensor de tensión-energía resultante se puede conectar a las ecuaciones de campo de Einstein. Pero si se requiere la solución exacta o una solución que describa campos fuertes, la evolución de la métrica y el tensor de tensión-energía deben resolverse juntos.

Para obtener soluciones, las ecuaciones relevantes son el EFE arriba citado (en cualquier forma) más la ecuación de continuidad (para determinar la evolución del tensor esfuerzo-energía):

{\ Displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} \, = 0 \ ,.}

Claramente, esto no es suficiente, ya que solo hay 14 ecuaciones (10 de las ecuaciones de campo y 4 de la ecuación de continuidad) para 20 incógnitas (10 componentes métricos y 10 componentes del tensor de tensión-energía). Faltan ecuaciones de estado . En el caso más general, es fácil ver que se requieren al menos 6 ecuaciones más, posiblemente más si hay grados internos de libertad (como la temperatura) que pueden variar a lo largo del espacio-tiempo.

En la práctica, generalmente es posible simplificar el problema reemplazando el conjunto completo de ecuaciones de estado con una simple aproximación. Algunas aproximaciones comunes son:

Vacío :

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = 0}

Fluido perfecto :

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = (\ rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}

dónde

{\ Displaystyle u ^ {a} u_ {a} = - 1 \!}

Aquí está la densidad de masa-energía medida en un marco de co-movimiento momentáneo, es el campo vectorial de 4 velocidades del fluido y es la presión. ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle u_ {a}}$ ${\ Displaystyle p}$

Polvo que no interactúa (un caso especial de fluido perfecto):

{\ Displaystyle T_ {ab} \, = \ rho u_ {a} u_ {b}}

Para un fluido perfecto, se debe agregar otra ecuación de estado que relacione la densidad y la presión . Esta ecuación a menudo dependerá de la temperatura, por lo que se requiere una ecuación de transferencia de calor o el postulado de que la transferencia de calor puede despreciarse. ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle p}$

A continuación, observe que solo 10 de las 14 ecuaciones originales son independientes, porque la ecuación de continuidad es una consecuencia de las ecuaciones de Einstein. Esto refleja el hecho de que el sistema es invariante de calibre (en general, en ausencia de alguna simetría, cualquier elección de una red de coordenadas curvilíneas en el mismo sistema correspondería a una solución numéricamente diferente). Se necesita una "fijación de calibre", es decir, necesitamos imponer 4 restricciones (arbitrarias) sobre el sistema de coordenadas para obtener resultados inequívocos. Estas restricciones se conocen como condiciones de coordenadas . ${\ Displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$

Una opción popular del medidor es el llamado "calibre De Donder", también conocida como la armónica condición o calibre armónica

{\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} = 0 \ ,.}

En relatividad numérica , el indicador preferido es la denominada "descomposición 3 + 1", basada en el formalismo ADM . En esta descomposición, la métrica se escribe en la forma

{\ Displaystyle ds ^ {2} \, = (- N + N ^ {i} N ^ {j} \ gamma _ {ij}) dt ^ {2} + 2N ^ {i} \ gamma _ {ij} dtdx ^ {j} + \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

, dónde

{\ Displaystyle i, j = 1 \ dots 3 \ ,.}

${\ Displaystyle N}$ y son funciones de las coordenadas del espacio-tiempo y pueden elegirse arbitrariamente en cada punto. Los restantes grados físicos de libertad están contenidos en , que representa la métrica de Riemann en 3-hipersuperficies . Por ejemplo, una elección ingenua de , correspondería a un llamado sistema de coordenadas sincrónico : uno en el que la coordenada t coincide con el tiempo adecuado para cualquier observador comovivo (partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria fija ). ${\ Displaystyle N ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {ij}}$ ${\ Displaystyle t = constante}$ ${\ Displaystyle N = 1}$ ${\ Displaystyle N_ {i} = 0}$ ${\ Displaystyle x ^ {i}}$

Una vez que se eligen las ecuaciones de estado y se fija el indicador, se puede resolver el conjunto completo de ecuaciones. Desafortunadamente, incluso en el caso más simple de campo gravitacional en el vacío (tensión de desaparición-tensor de energía), el problema resulta demasiado complejo para ser resuelto exactamente. Para obtener resultados físicos, podemos recurrir a métodos numéricos ; trate de encontrar soluciones exactas imponiendo simetrías ; o pruebe enfoques intermedios, como métodos de perturbación o aproximaciones lineales del tensor de Einstein .

Soluciones exactas

Las soluciones exactas son métricas de Lorentz que se ajustan a un tensor tensión-energía físicamente realista y que se obtienen resolviendo el EFE exactamente en forma cerrada .

Referencia externa

Artículo de Scholarpedia sobre el tema escrito por Malcolm MacCallum

Soluciones no exactas

Las soluciones que no son exactas se denominan soluciones no exactas . Tales soluciones surgen principalmente debido a la dificultad de resolver el EFE en forma cerrada y muchas veces toman la forma de aproximaciones a sistemas ideales. Muchas soluciones no exactas pueden carecer de contenido físico, pero sirven como contraejemplos útiles para conjeturas teóricas.

Al Momin sostiene que la solución de Kurt Gödel a estas ecuaciones no describe nuestro universo y, por lo tanto, son aproximaciones.

Aplicaciones

Existen razones tanto prácticas como teóricas para estudiar las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

Desde un punto de vista puramente matemático, es interesante conocer el conjunto de soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. Algunas de estas soluciones están parametrizadas por uno o más parámetros.

Ver también

Referencias

JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler; I. Ciufolini (1995). Gravitación e inercia . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne (2010). Relatividad, gravitación y cosmología . La Universidad Abierta , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4 .

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