Integral singular - Singular integral

En matemáticas , las integrales singulares son fundamentales para el análisis armónico y están íntimamente conectadas con el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, una integral singular es un operador integral

${\ Displaystyle T (f) (x) = \ int K (x, y) f (y) \, dy,}$

cuya función de núcleo K  : R ⁿ × R ⁿ  →  R es singular a lo largo de la diagonal x  =  y . En concreto, la singularidad es tal que | K ( x ,  y ) | es de tamaño | x  -  y | ^{- n} asintóticamente como | x  -  y | → 0. Dado que tales integrales pueden no ser en general absolutamente integrables, una definición rigurosa debe definirlas como el límite de la integral sobre | y  -  x | > ε como ε → 0, pero en la práctica esto es un tecnicismo. Por lo general, se requieren más suposiciones para obtener resultados como su acotación en L ^p ( R ⁿ ).

La transformación de Hilbert

El operador integral singular arquetípico es la transformada de Hilbert H . Se da por convolución contra el núcleo K ( x ) = 1 / (π x ) para x en R . Más precisamente,

${\ Displaystyle H (f) (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| xy |> \ varepsilon} {\ frac {1} { xy}} f (y) \, dy.}$

Los análogos de dimensión superior más sencillos de estos son las transformadas de Riesz , que reemplazan K ( x ) = 1 / x con

${\ Displaystyle K_ {i} (x) = {\ frac {x_ {i}} {| x | ^ {n + 1}}}}$

donde i = 1,…, n y es el i -ésimo componente de x en R ⁿ . Todos estos operadores están limitados a L ^p y satisfacen estimaciones de tipo débil (1, 1). ${\ Displaystyle x_ {i}}$

Integrales singulares de tipo convolución

Una integral singular de tipo convolución es un operador T definido por convolución con un núcleo K que es localmente integrable en R ⁿ \ {0}, en el sentido de que

${\ Displaystyle T (f) (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {| yx |> \ varepsilon} K (xy) f (y) \, dy.}$

( 1 )

Supongamos que el núcleo satisface:

1. La condición de tamaño en la transformada de Fourier de K

   ${\ Displaystyle {\ hat {K}} \ in L ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

2. La condición de suavidad : para algunos C  > 0,

   ${\ Displaystyle \ sup _ {y \ neq 0} \ int _ {| x |> 2 | y |} | K (xy) -K (x) | \, dx \ leq C.}$

Entonces se puede demostrar que T está limitado a L ^p ( R ⁿ ) y satisface una estimación de tipo débil (1, 1).

La propiedad 1 es necesaria para asegurar que la convolución ( 1 ) con la distribución templada pv  K dada por la integral del valor principal

${\ Displaystyle \ operatorname {pv} \, \, K [\ phi] = \ lim _ {\ epsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {| x |> \ epsilon} \ phi (x) K ( x) \, dx}$

es un multiplicador de Fourier bien definido en L ² . Ninguna de las propiedades 1. o 2. es necesariamente fácil de verificar y existe una variedad de condiciones suficientes. Por lo general, en las aplicaciones, también se tiene una condición de cancelación .

${\ Displaystyle \ int _ {R_ {1} <| x | <R_ {2}} K (x) \, dx = 0, \ \ forall R_ {1}, R_ {2}> 0}$

que es bastante fácil de comprobar. Es automático, por ejemplo, si K es una función impar . Si, además, se asume 2. y la siguiente condición de tamaño

${\ Displaystyle \ sup _ {R> 0} \ int _ {R <| x | <2R} | K (x) | \, dx \ leq C,}$

entonces se puede demostrar que sigue 1..

La condición de suavidad 2. también es a menudo difícil de verificar en principio, se puede usar la siguiente condición suficiente de un grano K :

• ${\ Displaystyle K \ en C ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \})}$
• ${\ Displaystyle | \ nabla K (x) | \ leq {\ frac {C} {| x | ^ {n + 1}}}}$

Observe que estas condiciones se satisfacen para las transformadas de Hilbert y Riesz, por lo que este resultado es una extensión de esos resultados.

Integrales singulares de tipo no convolucional

Estos son operadores aún más generales. Sin embargo, dado que nuestros supuestos son tan débiles, no es necesariamente cierto que estos operadores estén limitados a L ^p .

Granos de Calderón – Zygmund

Una función K  : R ⁿ × R ⁿ → R se dice que es un núcleo de Calderón - Zygmund si satisface las siguientes condiciones para algunas constantes C  > 0 y δ  > 0.

1. ${\ Displaystyle | K (x, y) | \ leq {\ frac {C} {| xy | ^ {n}}}}$

2. ${\ Displaystyle | K (x, y) -K (x ', y) | \ leq {\ frac {C | x-x' | ^ {\ delta}} {{\ bigl (} | xy | + | x '-y | {\ bigr)} ^ {n + \ delta}}} {\ text {siempre que}} | x-x' | \ leq {\ frac {1} {2}} \ max {\ bigl (} | xy |, | x'-y | {\ bigr)}}$

3. ${\ Displaystyle | K (x, y) -K (x, y ') | \ leq {\ frac {C | y-y' | ^ {\ delta}} {{\ bigl (} | xy | + | x -y '| {\ bigr)} ^ {n + \ delta}}} {\ text {siempre que}} | y-y' | \ leq {\ frac {1} {2}} \ max {\ bigl (} | x-y '|, | xy | {\ bigr)}}$

Integrales singulares de tipo no convolucional

Se dice que T es un operador integral singular de tipo no convolucional asociado al kernel K de Calderón-Zygmund si

${\ Displaystyle \ int g (x) T (f) (x) \, dx = \ iint g (x) K (x, y) f (y) \, dy \, dx,}$

siempre que f y g sean suaves y tengan un soporte inconexo. Dichos operadores no necesitan limitarse a L ^p

Operadores Calderón – Zygmund

Una integral singular de tipo no convolucional T asociada a un kernel K de Calderón-Zygmund se llama operador de Calderón-Zygmund cuando está acotada en L ² , es decir, hay un C  > 0 tal que

${\ Displaystyle \ | T (f) \ | _ {L ^ {2}} \ leq C \ | f \ | _ {L ^ {2}},}$

para todo suave y compacto ƒ.

Se puede demostrar que estos operadores, de hecho, también están limitados en todo L ^p con 1 <  p  <∞.

El teorema de T ( b )

El teorema T ( b ) proporciona condiciones suficientes para que un operador integral singular sea un operador de Calderón-Zygmund, es decir, para que un operador integral singular asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund esté acotado en L ² . Para establecer el resultado, primero debemos definir algunos términos.

Una protuberancia normalizada es una función suave φ en R ⁿ apoyada en una bola de radio 10 y centrada en el origen tal que | ∂ ^α   φ ( x ) | ≤ 1, para todos los índices múltiples | α | ≤  n  + 2. Denote por τ ^x ( φ ) ( y ) =  φ ( y  -  x ) y φ _r ( x ) =  r ^{- n} φ ( x / r ) para todo x en R ⁿ y r  > 0. An Se dice que el operador está débilmente acotado si hay una constante C tal que

${\ Displaystyle \ left | \ int T {\ bigl (} \ tau ^ {x} (\ varphi _ {r}) {\ bigr)} (y) \ tau ^ {x} (\ psi _ {r}) (y) \, dy \ right | \ leq Cr ^ {- n}}$

para todas las protuberancias normalizadas φ y ψ . Una función se dice que es acumulativa si hay una constante c  > 0 tal que Re ( b ) ( x ) ≥  c para todo x en R . Denote por M _b el operador dado por la multiplicación por una función b .

El teorema de T ( b ) establece que un operador integral singular T asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund está acotado en L ² si satisface las tres condiciones siguientes para algunas funciones acretivas acrecentadas b ₁ y b ₂ :

1. ${\ Displaystyle M_ {b_ {2}} TM_ {b_ {1}}}$ está débilmente acotado;
2. ${\ Displaystyle T (b_ {1})}$ está en BMO ;
3. ${\ Displaystyle T ^ {t} (b_ {2}),}$ está en BMO , donde T ^t es el operador de transposición de  T .

Ver también

• Operadores integrales singulares en curvas cerradas

Notas

Referencias

• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1952), "Sobre la existencia de ciertas integrales singulares", Acta Mathematica , 88 (1): 85-139, doi : 10.1007 / BF02392130 , ISSN   0001-5962 , MR   0052553 , Zbl   0047.10201 .
• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1956), "Sobre integrales singulares", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 78 (2): 289-309, doi : 10.2307 / 2372517 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372517 , MR   0084633 , Zbl   0072.11501 .
• Coifman, Ronald ; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund y operadores multilineales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48 , Cambridge University Press, pp. Xx + 315, ISBN   0-521-42001-6 , MR   1456993 , Zbl   0.916,42023 .
• Mikhlin, Solomon G. (1948), "Ecuaciones integrales singulares" , UMN , 3 (25): 29-112, MR   0027429 (en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, 83 , Oxford - Londres - Edimburgo - Nueva York - París - Frankfurt : Pergamon Press , págs. XII + 255 , MR   0185399 , Zbl   0.129,07701 .
• Mikhlin, Solomon G .; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular Integral Operators , Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer Verlag , p. 528, ISBN   0-387-15967-3 , MR   0867687 , Zbl   0.612,47024 , (Edición europea: ISBN   3-540-15967-3 ).
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton Mathematical Series, 30 , Princeton, NJ : Princeton University Press , págs. XIV + 287, ISBN   0-691-08079-8 , MR   0290095 , Zbl   0.207,13501

enlaces externos

• Stein, Elias M. (octubre de 1998). "Integrales singulares: los roles de Calderón y Zygmund" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 45 (9): 1130-1140.