Regla del 72 - Rule of 72

En finanzas , la regla del 72 , la regla del 70 y la regla del 69,3 son métodos para estimar el tiempo de duplicación de una inversión . El número de la regla (por ejemplo, 72) se divide por el porcentaje de interés por período (generalmente años) para obtener el número aproximado de períodos requeridos para duplicar. Aunque las calculadoras científicas y los programas de hojas de cálculo tienen funciones para encontrar el tiempo de duplicación exacto, las reglas son útiles para cálculos mentales y cuando solo se dispone de una calculadora básica .

Estas reglas se aplican al crecimiento exponencial y, por lo tanto, se utilizan para el interés compuesto en lugar de los cálculos de interés simple . También se pueden usar para la descomposición para obtener un tiempo de reducción a la mitad. La elección del número es principalmente una cuestión de preferencia: 69 es más preciso para la composición continua, mientras que 72 funciona bien en situaciones de interés común y es más fácil de dividir. Hay una serie de variaciones en las reglas que mejoran la precisión. Para la capitalización periódica, el tiempo exacto de duplicación para una tasa de interés de r por ciento por período es

${\ Displaystyle t = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln (1 + r / 100)}} \ approx {\ frac {72} {r}}}$,

donde t es el número de períodos requeridos. La fórmula anterior se puede utilizar para más que calcular el tiempo de duplicación. Si uno quiere saber el tiempo de triplicación, por ejemplo, reemplace la constante 2 en el numerador con 3. Como otro ejemplo, si desea saber el número de períodos que se necesitan para que el valor inicial aumente en un 50%, reemplace la constante 2 con 1,5.

Usar la regla para estimar períodos compuestos

Para estimar el número de períodos necesarios para duplicar una inversión original, divida la "cantidad de regla" más conveniente por la tasa de crecimiento esperada, expresada como porcentaje.

• Por ejemplo, si tuviera que invertir $ 100 con interés compuesto a una tasa del 9% anual, la regla del 72 da 72/9 = 8 años necesarios para que la inversión valga $ 200; un cálculo exacto da ln (2) /ln(1+0.09) = 8.0432 años.

De manera similar, para determinar el tiempo que tarda el valor del dinero en reducirse a la mitad a una tasa determinada, divida la cantidad de la regla por esa tasa.

• Para determinar el tiempo necesario para que el poder adquisitivo del dinero se reduzca a la mitad, los financieros dividen la cantidad regla por la tasa de inflación . Por lo tanto, con una inflación del 3,5% utilizando la regla del 70 , debería tomar aproximadamente 70 / 3,5 = 20 años para que el valor de una unidad monetaria se reduzca a la mitad.
• Para estimar el impacto de las tarifas adicionales en las políticas financieras (por ejemplo, tarifas y gastos de fondos mutuos, cargos de carga y gastos en carteras de inversión de seguros de vida universales variables ), divida 72 por la tarifa. Por ejemplo, si la póliza de Vida Universal cobra una tarifa anual del 3% por encima del costo del fondo de inversión subyacente, entonces el valor total de la cuenta se reducirá al 50% en 72/3 = 24 años, y luego al 25% de el valor en 48 años, en comparación con mantener exactamente la misma inversión fuera de la póliza.

Elección de regla

El valor 72 es una elección conveniente de numerador, ya que tiene muchos divisores pequeños : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Proporciona una buena aproximación para la capitalización anual y para la capitalización a tasas típicas ( del 6% al 10%). Las aproximaciones son menos precisas a tasas de interés más altas.

Para la composición continua, 69 proporciona resultados precisos para cualquier tasa. Esto se debe a que ln (2) es aproximadamente el 69,3%; consulte la derivación a continuación. Dado que la composición diaria está lo suficientemente cerca de la composición continua, para la mayoría de los propósitos, 69, 69.3 o 70 son mejores que 72 para la composición diaria. Para tasas anuales más bajas que las anteriores, 69,3 también sería más exacto que 72. Para tasas anuales más altas, 78 es más exacto.

Gráficos que comparan tiempos de duplicación y semividas de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decaimiento (líneas débiles), y sus aproximaciones de 70 / ty 72 / t En la versión SVG , coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Nota: El valor más preciso en cada fila está en cursiva y la más precisa de las reglas más simples en negrita.

Historia

Una referencia temprana a la regla se encuentra en la Summa de arithmetica (Venecia, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445-1514). Presenta la regla en una discusión sobre la estimación del tiempo de duplicación de una inversión, pero no deriva ni explica la regla, por lo que se asume que la regla es anterior a Pacioli en algún tiempo.

A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72 , a mente, il quale semper partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 por 100 l'anno, dico che si parta 72 por 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (énfasis añadido).

Aproximadamente traducido:

Al querer saber de cualquier capital, a un porcentaje anual dado, en cuántos años se duplicará sumando el interés al capital, tenga en cuenta como regla [el número] 72 , que siempre dividirá por el interés, y lo que resulta, en tantos años se duplicará. Ejemplo: cuando el interés es del 6 por ciento anual, digo que se divide 72 entre 6; 12 resultados, y en 12 años se duplicará el capital.

Ajustes para una mayor precisión

Para tasas más altas, un numerador más grande sería mejor (por ejemplo, para el 20%, usar 76 para obtener 3.8 años sería solo aproximadamente 0.002 de descuento, mientras que usar 72 para obtener 3.6 sería aproximadamente 0.2). Esto se debe a que, como se indicó anteriormente, la regla del 72 es solo una aproximación precisa para las tasas de interés del 6% al 10%.

Por cada tres puntos porcentuales fuera del 8%, el valor de 72 podría ajustarse en 1:

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {72+ (r-8) / 3} {r}}}$

o, para el mismo resultado:

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {70+ (r-2) / 3} {r}}}$

Ambas ecuaciones se simplifican a:

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {208} {3r}} + {\ frac {1} {3}}}$

Tenga en cuenta que está bastante cerca de 69,3. ${\ Displaystyle {\ frac {208} {3}}}$

Regla EM

La regla de segundo orden de Eckart-McHale (la regla EM) proporciona una corrección multiplicativa para la regla de 69.3 que es muy precisa para tasas de 0% a 20%, mientras que la regla normalmente solo es precisa en el extremo más bajo de las tasas de interés. de 0% a aproximadamente 5%.

Para calcular la aproximación EM, multiplique la regla del resultado de 69,3 por 200 / (200− r ) de la siguiente manera:

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ times {\ frac {200} {200-r}}}$.

Por ejemplo, si la tasa de interés es del 18%, la regla de 69,3 da t = 3,85 años, que la regla de ME multiplica por (es decir, 200 / (200-18)) para dar un tiempo de duplicación de 4,23 años. Como el tiempo real de duplicación a esta tasa es de 4,19 años, la regla EM ofrece una aproximación más cercana que la regla de 72. ${\ Displaystyle {\ frac {200} {182}}}$

Para obtener una corrección similar para la regla de 70 o 72, se puede configurar uno de los numeradores y ajustar el otro para mantener su producto aproximadamente igual. Por tanto, la regla EM podría escribirse también como

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {70} {r}} \ times {\ frac {198} {200-r}}}$ o ${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {72} {r}} \ times {\ frac {192} {200-r}}}$

En estas variantes, la corrección multiplicativa se convierte en 1 respectivamente para r = 2 y r = 8, los valores para los cuales las reglas de 70 y 72 son más precisas.

Padé aproximado

El aproximado de Padé de tercer orden da una respuesta más precisa en un rango aún mayor de r , pero tiene una fórmula un poco más complicada:

${\ Displaystyle t \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ times {\ frac {600 + 4r} {600 + r}}}$.

Derivación

Composición periódica

Para la composición periódica , el valor futuro viene dado por:

${\ Displaystyle FV = PV \ cdot (1 + r) ^ {t}}$

donde es el valor presente , es el número de períodos de tiempo y representa la tasa de interés por período de tiempo. ${\ displaystyle PV}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle r}$

El valor futuro es el doble del valor presente cuando se cumple la siguiente condición:

${\ Displaystyle (1 + r) ^ {t} = 2 \,}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para : ${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ ln ((1 + r) ^ {t}) & = & \ ln 2 \\ t \ ln (1 + r) & = & \ ln 2 \\ t & = & {\ frac {\ ln 2} {\ ln (1 + r)}} \ end {matriz}}}$

Una simple reordenación muestra:

${\ Displaystyle {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {(1 + r)}}} = {\ bigg (} {\ frac {\ ln 2} {r}} {\ bigg)} {\ bigg (} {\ frac {r} {\ ln (1 + r)}} {\ bigg)}}$

Si r es pequeño, entonces ln (1 + r ) es aproximadamente igual a r (este es el primer término de la serie de Taylor ). Es decir, este último factor crece lentamente cuando se acerca a cero. ${\ Displaystyle r}$

Al llamar a este último factor , se muestra que la función es precisa en la aproximación de una tasa de interés pequeña y positiva cuando (consulte la derivación a continuación). , y por lo tanto aproximamos el tiempo como: ${\ Displaystyle f (r)}$${\ Displaystyle f (r)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle r = .08}$${\ Displaystyle f (.08) \ aproximadamente 1.03949}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle t = {\ bigg (} {\ frac {\ ln 2} {r}} {\ bigg)} f (.08) \ approx {\ frac {.72} {r}}}$

Escrito como porcentaje:

${\ Displaystyle {\ frac {.72} {r}} = {\ frac {72} {100r}}}$

Esta aproximación aumenta en precisión a medida que el interés compuesto se vuelve continuo (ver la derivación a continuación). se escribe como porcentaje . ${\ displaystyle 100r}$${\ Displaystyle r}$

Para derivar los ajustes más precisos presentados anteriormente, se observa que se aproxima más de cerca (utilizando el segundo término en la serie de Taylor ). luego se puede simplificar aún más mediante aproximaciones de Taylor: ${\ Displaystyle \ ln (1 + r) \,}$${\ Displaystyle r - {\ frac {r ^ {2}} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {0,693} {rr ^ {2} / 2}}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} {\ frac {0,693} {rr ^ {2} / 2}} & = & {\ frac {69,3} {RR ^ {2} / 200}} \\ && \\ & = & {\ frac {69.3} {R}} {\ frac {1} {1-R / 200}} \\ && \\ & \ approx & {\ frac {69.3 (1 + R / 200) } {R}} \\ && \\ & = & {\ frac {69.3} {R}} + {\ frac {69.3} {200}} \\ && \\ & = & {\ frac {69.3} {R }} + 0.3465 \ end {matriz}}}$

Reemplazando la " R " en R / 200 en la tercera línea con 7.79 da 72 en el numerador. Esto muestra que la regla del 72 es más precisa para intereses compuestos periódicamente alrededor del 8%. De manera similar, reemplazar la " R " en R / 200 en la tercera línea con 2.02 da 70 en el numerador, lo que muestra que la regla de 70 es más precisa para intereses compuestos periódicamente alrededor del 2%.

Alternativamente, la regla EM se obtiene si se usa directamente la aproximación de Taylor de segundo orden.

Capitalización continua

Para la composición continua , la derivación es más simple y produce una regla más precisa:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} (e ^ {r}) ^ {p} & = & 2 \\ e ^ {rp} & = & 2 \\\ ln e ^ {rp} & = & \ ln 2 \\ rp & = & \ ln 2 \\ p & = & {\ frac {\ ln 2} {r}} \\ && \\ p & \ approx & {\ frac {0.693147} {r}} \ end {array} }}$

Ver también

• Crecimiento exponencial
• Valor temporal del dinero
• Interesar
• Descuento
• Regla de 16
• Regla de tres (estadísticas)

Referencias

enlaces externos

• Las escalas de 70 : extiende la regla del 72 más allá del crecimiento de tasa fija al crecimiento compuesto de tasa variable, incluidas las tasas positivas y negativas.