Rose (topología) - Rose (topology)

Una rosa de cuatro pétalos.

En matemáticas , una rosa (también conocida como ramo de n círculos ) es un espacio topológico que se obtiene al pegar una colección de círculos a lo largo de un solo punto. Los círculos de la rosa se llaman pétalos . Las rosas son importantes en la topología algebraica , donde están estrechamente relacionadas con los grupos libres .

Definición

El grupo fundamental de la figura de ocho es el grupo libre generado por una y b

Una rosa es una suma de círculos en cuña . Es decir, la rosa es el espacio cociente C / S , donde C es una unión disjunta de círculos y S un conjunto que consta de un punto de cada círculo. Como complejo celular , una rosa tiene un solo vértice y un borde para cada círculo. Esto lo convierte en un ejemplo simple de gráfico topológico .

También se puede obtener una rosa con n pétalos identificando n puntos en un solo círculo. La rosa con dos pétalos se conoce como la figura ocho .

Relación con los grupos libres

La cobertura universal de la figura de ocho se puede visualizar en el gráfico Cayley del grupo libre en dos generadores de una y b

El grupo fundamental de una rosa es gratuito , con un generador por cada pétalo. La cubierta universal es un árbol infinito, que se puede identificar con el gráfico de Cayley del grupo libre. (Este es un caso especial del complejo de presentación asociado a cualquier presentación de un grupo ).

Las coberturas intermedias de la rosa corresponden a subgrupos del grupo libre. La observación de que cualquier cubierta de una rosa es un gráfico proporciona una prueba simple de que cada subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier )

Debido a que la cobertura universal de una rosa es contráctil , la rosa es en realidad un espacio Eilenberg-MacLane para el grupo libre asociado F . Esto implica que los grupos de cohomología H n ( F ) son triviales para n  ≥ 2.

Otras propiedades

Un ocho en el toro .
  • Cualquier gráfico conectado es homotopía equivalente a una rosa. Específicamente, la rosa es el espacio del cociente del gráfico obtenido al contraer un árbol de expansión .
  • Un disco con n puntos eliminados (o una esfera con n  + 1 puntos eliminados) la deformación se retrae sobre una rosa con n pétalos. Un pétalo de la rosa rodea cada uno de los puntos eliminados.
  • Un toro con una deformación eliminada en un punto se retrae sobre una figura de ocho, es decir, la unión de dos círculos generadores. De manera más general, una superficie del género g con una deformación eliminada en un punto se retrae sobre una rosa con pétalos de 2 g , es decir, el límite de un polígono fundamental .
  • Una rosa puede tener infinitos pétalos, lo que lleva a un grupo fundamental que está libre en una infinidad de generadores. La rosa con infinitos pétalos contables es similar al pendiente hawaiano : hay una biyección continua de esta rosa al pendiente hawaiano, pero los dos no son homeomórficos . Una rosa con infinitos pétalos no es compacta, mientras que el pendiente hawaiano es compacto.

Ver también

Referencias

  • Hatcher, Allen (2002), topología algebraica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
  • Munkres, James R. (2000), Topología , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc, ISBN 0-13-181629-2
  • Stillwell, John (1993), topología clásica y teoría combinatoria de grupos , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97970-0