Semigrupo regular - Regular semigroup

En matemáticas, un semigrupo regular es un semigrupo S en el que cada elemento es regular , es decir, para cada elemento a en S existe un elemento x en S tal que axa = a . Los semigrupos regulares son una de las clases de semigrupos más estudiadas, y su estructura es particularmente susceptible de estudio a través de las relaciones de Green .

Historia

Los semigrupos regulares fueron introducidos por JA Green en su influyente artículo de 1951 "Sobre la estructura de los semigrupos"; este fue también el documento en el que se introdujeron las relaciones de Green . El concepto de regularidad en un semigrupo fue adaptado de una condición análoga para anillos , ya considerada por John von Neumann . Fue el estudio de Green de los semigrupos regulares lo que lo llevó a definir sus célebres relaciones . Según una nota al pie de página en Green 1951, la sugerencia de que la noción de regularidad se aplique a los semigrupos fue hecha por primera vez por David Rees .

El término semigrupo inverso (francés: demi-groupe inversif) se utilizó históricamente como sinónimo en los trabajos de Gabriel Thierrin (un alumno de Paul Dubreil ) en la década de 1950, y todavía se utiliza ocasionalmente.

Los basicos

Hay dos formas equivalentes de definir un semigrupo S regular :

(1) para cada a en S , hay una x en S , que se llama pseudoinversa , con axa = a ;

(2) todo elemento a tiene al menos una b inversa , en el sentido de que aba = a y bab = b .

Para ver la equivalencia de estas definiciones, primero suponga que S está definido por (2). Entonces b sirve como la x requerida en (1). Por el contrario, si S está definido por (1), entonces xax es un inverso de a , ya que a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a y ( xax ) a ( xax ) = x ( axa ) ( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax .

El conjunto de inversas (en el sentido anterior) de un elemento a en un semigrupo arbitrario S se denota por V ( a ). Por lo tanto, otra manera de expresar la definición (2) anteriormente es decir que en un semigrupo regular, V ( un ) es no vacío, para cada una en S . El producto de cualquier elemento a con cualquier b en V ( a ) es siempre idempotente : abab = ab , ya que aba = a .

Ejemplos de semigrupos regulares

Cada grupo es un semigrupo regular.
Cada banda (semigrupo idempotente) es regular en el sentido de este artículo, aunque esto no es lo que se entiende por banda regular .
El semigrupo bicíclico es regular.
Cualquier semigrupo de transformación completa es regular.
Un semigrupo de matriz de Rees es regular.
La imagen homomórfica de un semigrupo regular es regular.

Inversiones únicas y pseudoinversiones únicas

Un semigrupo regular en el que los idempotentes se desplazan al trabajo (con los idempotentes) es un semigrupo inverso , o lo que es lo mismo, cada elemento tiene un inverso único . Para ver esto, sea S un semigrupo regular en el que los idempotentes se desplazan al trabajo. Entonces cada elemento de S tiene al menos una inversa. Supongamos que una en S tiene dos inversos b y c , es decir,

aba = a , bab = b , aca = a y cac = c . También ab , ba , ac y ca son idempotentes como antes.

Luego

b = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac ) ( ab ) = bac ( ab ) ( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( aba ) bac = cabac = cac = c .

Entonces, al conmutar los pares de idempotentes ab & ac y ba & ca , se demuestra que el inverso de a es único. Por el contrario, se puede demostrar que cualquier semigrupo inverso es un semigrupo regular en el que los idempotentes se desplazan al trabajo.

La existencia de un pseudoinverso único implica la existencia de un inverso único, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, en el semigrupo inverso simétrico , la transformación vacía Ø no tiene un pseudoinverso único, porque Ø = Ø f Ø para cualquier transformación f . Sin embargo, la inversa de Ø es única, porque solo una f satisface la restricción adicional de que f = f Ø f , es decir, f = Ø. Esta observación se cumple de manera más general en cualquier semigrupo con cero. Además, si cada elemento tiene un pseudoinverso único, entonces el semigrupo es un grupo y el pseudoinverso único de un elemento coincide con el inverso del grupo.

Relaciones de Green

Recordemos que los principales ideales de un semigrupo S se definen en términos de S ¹ , el semigrupo con identidad adjunta ; esto es para asegurar que un elemento a pertenece a los ideales principales de derecha, izquierda y bilateral que genera. En un semigrupo S regular , sin embargo, un elemento a = axa pertenece automáticamente a estos ideales, sin recurrir a una identidad contigua. Por lo tanto, las relaciones de Green se pueden redefinir para semigrupos regulares de la siguiente manera:

{\ Displaystyle a \, {\ mathcal {L}} \, b}

si, y solo si, Sa = Sb ;

{\ Displaystyle a \, {\ mathcal {R}} \, b}

si, y solo si, aS = bS ;

{\ Displaystyle a \, {\ mathcal {J}} \, b}

si, y solo si, SaS = SbS .

En un semigrupo S normal , todas las clases - y - contienen al menos un idempotente . Si una es cualquier elemento de S y un ' es cualquier inversa para una , a continuación, una se -relacionado con a'a y -relacionado con aa' . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Teorema. Sea S un semigrupo regular; dejar que un y b ser elementos de S , y dejar que V (x) denota el conjunto de inversas de x en S . Luego

${\ Displaystyle a \, {\ mathcal {L}} \, b}$ si si existe a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tal que a'a = b'b ;
${\ Displaystyle a \, {\ mathcal {R}} \, b}$ si existe a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tal que aa ' = bb' ,
${\ Displaystyle a \, {\ mathcal {H}} \, b}$ si si existen a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tales que a'a = b'b y aa ' = bb' .

Si S es un semigrupo inverso , entonces el idempotente en cada - y - clase es único. ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Clases especiales de semigrupos regulares

Algunas clases especiales de semigrupos regulares son:

Semigrupos localmente inversos : un semigrupo S regular es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
Semigrupos ortodoxos : un semigrupo S regulares ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subgrupo.
Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo S regular se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx para todos los idempotentes x , y , z .

La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos.

Todos los semigrupos inversos son ortodoxos y localmente inversos. Las declaraciones contrarias no se sostienen.

Generalizaciones

Ver también

Referencias

Fuentes

Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. La teoría algebraica de semigrupos . 2 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4.
Howie, John Mackintosh (1995). Fundamentos de la teoría del semigrupo (1ª ed.). Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-851194-6.
M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de coronas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
JA Green (1951). "Sobre la estructura de los semigrupos". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 54 (1): 163-172. doi : 10.2307 / 1969317 . hdl : 10338.dmlcz / 100067 . JSTOR 1969317 .
JM Howie, Semigroups, past, present and future, Actas de la Conferencia Internacional sobre Álgebra y sus Aplicaciones , 2002, 6–20.
J. von Neumann (1936). "En anillos regulares" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE . UU . 22 (12): 707–713. doi : 10.1073 / pnas.22.12.707 . PMC 1076849 . PMID 16577757 .

Languages

In other projects