Operador pseudo-diferencial - Pseudo-differential operator

En el análisis matemático, un operador pseudo-diferencial es una extensión del concepto de operador diferencial . Los operadores pseudo-diferenciales se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y la teoría cuántica de campos .

Historia

El estudio de los operadores pseudo-diferenciales comenzó a mediados de la década de 1960 con el trabajo de Kohn , Nirenberg , Hörmander , Unterberger y Bokobza.

Desempeñaron un papel influyente en la segunda demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer a través de la teoría K. Atiyah y Singer agradecieron a Hörmander por su ayuda para comprender la teoría de los operadores pseudo-diferenciales.

Motivación

Operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes

Considere un operador diferencial lineal con coeficientes constantes,

${\ Displaystyle P (D): = \ sum _ {\ alpha} a _ {\ alpha} \, D ^ {\ alpha}}$

que actúa sobre funciones suaves con soporte compacto en R ⁿ . Este operador se puede escribir como una composición de una transformada de Fourier , una simple multiplicación por la función polinomial (llamada símbolo ) ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle P (\ xi) = \ sum _ {\ alpha} a _ {\ alpha} \, \ xi ^ {\ alpha},}$

y una transformada de Fourier inversa, en la forma:

${\ Displaystyle \ quad P (D) u (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ { \ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {i (xy) \ xi} P (\ xi) u (y) \, dy \, d \ xi}$

( 1 )

Aquí, hay un índice múltiple , son números complejos y ${\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$${\ Displaystyle a _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = (- yo \ parcial _ {1}) ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots (-i \ parcial _ {n}) ^ {\ alpha _ {n}} }$

es una derivada parcial iterada, donde ∂ _j significa diferenciación con respecto a la j -ésima variable. Introducimos las constantes para facilitar el cálculo de las transformadas de Fourier. ${\ Displaystyle -i}$

Derivación de la fórmula ( 1 )

La transformada de Fourier de una función suave u , soportada de forma compacta en R ⁿ , es

${\ Displaystyle {\ hat {u}} (\ xi): = \ int e ^ {- iy \ xi} u (y) \, dy}$

y la fórmula de inversión de Fourier da

${\ Displaystyle u (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int e ^ {ix \ xi} {\ hat {u}} (\ xi) d \ xi = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ iint e ^ {i (xy) \ xi} u (y) \, dy \, d \ xi}$

Aplicando P ( D ) a esta representación de u y usando

${\ Displaystyle P (D_ {x}) \, e ^ {i (xy) \ xi} = e ^ {i (xy) \ xi} \, P (\ xi)}$

se obtiene la fórmula ( 1 ).

Representación de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales

Para resolver la ecuación diferencial parcial

${\ Displaystyle P (D) \, u = f}$

aplicamos (formalmente) la transformada de Fourier en ambos lados y obtenemos la ecuación algebraica

${\ Displaystyle P (\ xi) \, {\ hat {u}} (\ xi) = {\ hat {f}} (\ xi).}$

Si el símbolo P (ξ) nunca es cero cuando ξ ∈  R ⁿ , entonces es posible dividir por P (ξ):

${\ Displaystyle {\ hat {u}} (\ xi) = {\ frac {1} {P (\ xi)}} {\ hat {f}} (\ xi)}$

Por la fórmula de inversión de Fourier, una solución es

${\ Displaystyle u (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int e ^ {ix \ xi} {\ frac {1} {P (\ xi)}} { \ hat {f}} (\ xi) \, d \ xi.}$

Aquí se asume que:

1. P ( D ) es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes ,
2. su símbolo P (ξ) nunca es cero,
3. tanto u como ƒ tienen una transformada de Fourier bien definida.

El último supuesto puede debilitarse utilizando la teoría de distribuciones . Los dos primeros supuestos se pueden debilitar de la siguiente manera.

En la última fórmula, escriba la transformada de Fourier de ƒ para obtener

${\ Displaystyle u (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ iint e ^ {i (xy) \ xi} {\ frac {1} {P (\ xi) }} f (y) \, dy \, d \ xi.}$

Esto es similar a la fórmula ( 1 ), excepto que 1 / P (ξ) no es una función polinomial, sino una función de tipo más general.

Definición de operadores pseudo-diferenciales

Aquí vemos a los operadores pseudo-diferenciales como una generalización de los operadores diferenciales. Extendemos la fórmula (1) de la siguiente manera. Un operador pseudo-diferencial P ( x , D ) en R ⁿ es un operador cuyo valor en la función u (x) es la función de x :

${\ Displaystyle \ quad P (x, D) u (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix \ cdot \ xi} P (x, \ xi) {\ hat {u}} (\ xi) \, d \ xi}$

( 2 )

donde es la transformada de Fourier de u y el símbolo P ( x , ξ) en el integrando pertenece a una determinada clase de símbolo . Por ejemplo, si P ( x , ξ) es una función infinitamente diferenciable en R ⁿ  ×  R ⁿ con la propiedad ${\ Displaystyle {\ hat {u}} (\ xi)}$

${\ estilo de visualización | \ parcial _ {\ xi} ^ {\ alpha} \ parcial _ {x} ^ {\ beta} P (x, \ xi) | \ leq C _ {\ alpha, \ beta} \, (1+ | \ xi |) ^ {m- | \ alpha |}}$

para todo x , ξ ∈ R ⁿ , todos los multiíndices α, β, algunas constantes C _{α, β} y algún número real m , entonces P pertenece a la clase de símbolo de Hörmander . El operador correspondiente P ( x , D ) se denomina operador pseudo-diferencial de orden my pertenece a la clase ${\ Displaystyle \ scriptstyle {S_ {1,0} ^ {m}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Psi _ {1,0} ^ {m}}.}$

Propiedades

Los operadores diferenciales lineales de orden m con coeficientes acotados suaves son operadores pseudo-diferenciales de orden m . La composición PQ de dos operadores pseudo-diferenciales P ,  Q es de nuevo un operador pseudo-diferencial y el símbolo de PQ se puede calcular mediante el uso de los símbolos de P y Q . El adjunto y la transposición de un operador pseudo-diferencial es un operador pseudo-diferencial.

Si un operador diferencial de orden m es (uniformemente) elíptico (de orden m ) e invertible, entonces su inverso es un operador pseudo-diferencial de orden - m , y su símbolo se puede calcular. Esto significa que se pueden resolver ecuaciones diferenciales elípticas lineales más o menos explícitamente utilizando la teoría de operadores pseudo-diferenciales.

Los operadores diferenciales son locales en el sentido de que solo se necesita el valor de una función en la vecindad de un punto para determinar el efecto del operador. Los operadores pseudo -diferenciales son pseudo-locales , lo que significa informalmente que cuando se aplican a una distribución no crean una singularidad en los puntos donde la distribución ya era fluida.

Así como un operador diferencial se puede expresar en términos de D  = −id / d x en la forma

${\ Displaystyle p (x, D) \,}$

para un polinomio p en D (que se llama símbolo ), un operador pseudo-diferencial tiene un símbolo en una clase de funciones más general. A menudo, uno puede reducir un problema en el análisis de operadores pseudo-diferenciales a una secuencia de problemas algebraicos que involucran sus símbolos, y esta es la esencia del análisis microlocal .

Núcleo del operador pseudo-diferencial

Los operadores pseudo-diferenciales se pueden representar mediante núcleos . La singularidad del núcleo en la diagonal depende del grado del operador correspondiente. De hecho, si el símbolo satisface las desigualdades diferenciales anteriores con m ≤ 0, se puede demostrar que el núcleo es un núcleo integral singular .

Ver también

• Álgebra diferencial para una definición de operadores pseudo-diferenciales en el contexto de álgebras diferenciales y anillos diferenciales.
• Transformada de Fourier
• Operador integral de Fourier
• Operador integral oscilatorio
• Teorema fundamental de Sato
• Cálculo operacional

Notas al pie

Referencias

• Stein, Elias (1993), Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias , Princeton University Press.
• Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968), "El índice de operadores elípticos I", Annals of Mathematics , 87 (3): 484-530, doi : 10.2307 / 1970715 , JSTOR  1970715

Otras lecturas

• Michael E. Taylor , operadores pseudodiferenciales, Princeton Univ. Presione 1981. ISBN  0-691-08282-0
• MA Shubin, Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral, Springer-Verlag 2001. ISBN  3-540-41195-X
• Francois Treves , Introducción a los Operadores Pseudo Diferenciales e Integrales de Fourier, (Serie Universitaria en Matemáticas), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN  0-306-40404-4
• FG Friedlander y M. Joshi, Introducción a la teoría de las distribuciones, Cambridge University Press 1999. ISBN  0-521-64971-4
• Hörmander, Lars (1987). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales III: operadores pseudo-diferenciales . Saltador. ISBN 3-540-49937-7.

enlaces externos

• Conferencias sobre operadores pseudo-diferenciales por Mark S. Joshi en arxiv.org.
• "Operador pseudo-diferencial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]