Expansión post-Newtoniana - Post-Newtonian expansion

Diagrama del espacio de parámetros de binarios compactos con los distintos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

En la física , precisamente en la teoría de la relatividad general , expansiones enviar newtoniano ( PN expansiones ) se utilizan para encontrar una solución aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein para el tensor métrico . Las aproximaciones se expanden en pequeños parámetros que expresan órdenes de desviaciones de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite hacer aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes a veces es preferible resolver las ecuaciones completas numéricamente. Este método es una marca común de las teorías de campo efectivas . En el límite, cuando los pequeños parámetros son iguales a 0, la expansión post-Newtoniana se reduce a la ley de gravedad de Newton.

Expansión en 1 / c ²

Las aproximaciones post-Newtonianas son expansiones en un pequeño parámetro, que es la relación entre la velocidad de la materia que crea el campo gravitacional y la velocidad de la luz , que en este caso se llama más precisamente velocidad de la gravedad . En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se hace infinita, la expansión post-newtoniana reduce a Newton ley de la gravedad 's. Subrahmanyan Chandrasekhar y sus colaboradores desarrollaron un estudio sistemático de aproximaciones post-Newtonianas en la década de 1960.

Expansión en h

Otro enfoque es expandir las ecuaciones de la relatividad general en una serie de potencias en la desviación de la métrica de su valor en ausencia de gravedad.

{\ Displaystyle h _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ beta} - \ eta _ {\ alpha \ beta} \ ,.}

Para ello, se debe elegir un sistema de coordenadas en el que los valores propios de todos tengan valores absolutos menores que 1. ${\ Displaystyle h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ gamma} \,}$

Por ejemplo, si uno va un paso más allá de la gravedad linealizada para llevar la expansión al segundo orden en h :

{\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \ approx \ eta ^ {\ mu \ nu} - \ eta ^ {\ mu \ alpha} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ nu} + \ eta ^ {\ mu \ alpha} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ gamma} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^ {\ delta \ nu} \ ,.}

{\ Displaystyle {\ sqrt {-g}} \ approx 1 + {\ tfrac {1} {2}} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ alpha} + {\ tfrac {1} {8 }} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ alpha} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^ {\ delta \ gamma} - {\ tfrac {1} {4}} h _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ gamma} h _ {\ gamma \ delta} \ eta ^ {\ delta \ alpha} \ ,.}

Las expansiones basadas solo en la métrica, independientemente de la velocidad, se denominan expansiones post-Minkowskianas ( expansiones PM ).

Usos

Albert Einstein hizo el primer uso de una expansión PN (de primer orden) al calcular la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio . Hoy, el cálculo de Einstein se reconoce como un primer caso simple del uso más común de la expansión PN: resolver el problema relativista general de dos cuerpos , que incluye la emisión de ondas gravitacionales .

Calibre newtoniano

En general, la métrica perturbada se puede escribir como

{\ displaystyle ds ^ {2} = a ^ {2} (\ tau) \ left [(1 + 2A) d \ tau ^ {2} -2B_ {i} dx ^ {i} d \ tau - \ left ( \ delta _ {ij} + h_ {ij} \ derecha) dx ^ {i} dx ^ {j} \ derecha]}

donde , y son funciones del espacio y el tiempo. se puede descomponer como ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B_ {i}}$ ${\ Displaystyle h_ {ij}}$ ${\ Displaystyle h_ {ij}}$

{\ Displaystyle h_ {ij} = 2C \ delta _ {ij} + \ parcial _ {i} \ parcial _ {j} E - {\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ Box ^ { 2} E + \ parcial _ {i} {\ hat {E}} _ {j} + \ parcial _ {j} {\ hat {E}} _ {i} +2 {\ tilde {E}} _ {ij }}

donde es el operador de d'Alembert , es un escalar, es un vector y es un tensor sin rastro. Entonces los potenciales de Bardeen se definen como ${\ Displaystyle \ Box}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {ij}}$

{\ Displaystyle \ Psi \ equiv A + H (B-E '), + (B + E') ', \ quad \ Phi \ equiv -CH (B-E') + {\ frac {1} {3} } \ Box E}

donde es la constante de Hubble y un primo representa la diferenciación con respecto al tiempo conforme . ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ tau \,}$

Tomando (es decir, estableciendo y ), el calibre newtoniano es ${\ Displaystyle B = E = 0}$ ${\ Displaystyle \ Phi \ equiv -C}$ ${\ Displaystyle \ Psi \ equiv A}$