Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann - Einstein–Infeld–Hoffmann equations

Las ecuaciones de movimiento de Einstein-Infeld-Hoffmann , derivadas conjuntamente por Albert Einstein , Leopold Infeld y Banesh Hoffmann , son las ecuaciones diferenciales de movimiento que describen la dinámica aproximada de un sistema de masas puntuales debido a sus interacciones gravitacionales mutuas, incluido el relativista general. efectos. Utiliza una expansión post-newtoniana de primer orden y, por lo tanto, es válida en el límite donde las velocidades de los cuerpos son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz y donde los campos gravitacionales que los afectan son correspondientemente débiles.

Dado un sistema de N cuerpos, etiquetado por índices A  = 1, ...,  N , el vector de aceleración baricéntrica del cuerpo A viene dado por:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {a}} _ {A} & = \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA }} {r_ {AB} ^ {2}}} \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [v_ {A} ^ {2} + 2v_ {B} ^ {2} -4 ({\ vec {v}} _ {A} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) - {\ frac {3} {2}} ({\ vec {n}} _ {AB} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) ^ {2} \ right. \\ & {} \ qquad {} \ left. {} - 4 \ sum _ {C \ not = A} {\ frac { Gm_ {C}} {r_ {AC}}} - \ sum _ {C \ not = B} {\ frac {Gm_ {C}} {r_ {BC}}} + {\ frac {1} {2}} (({\ vec {x}} _ {B} - {\ vec {x}} _ {A}) \ cdot {\ vec {a}} _ {B}) \ right] \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [ {\ vec {n}} _ {AB} \ cdot (4 {\ vec {v}} _ {A} -3 {\ vec {v}} _ {B}) \ right] ({\ vec {v} } _ {A} - {\ vec {v}} _ {B}) \\ & {} \ quad {} + {\ frac {7} {2c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {a}} _ {B}} {r_ {AB}}} + O (c ^ {- 4}) \ end {alineado}}}$

dónde:

${\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {A}}$ es el vector de posición baricéntrica del cuerpo A

${\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {A} = d {\ vec {x}} _ {A} / dt}$ es el vector de velocidad baricéntrica del cuerpo A

${\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {A} = d ^ {2} {\ vec {x}} _ {A} / dt ^ {2}}$ es el vector de aceleración baricéntrica del cuerpo A

${\ Displaystyle r_ {AB} = | {\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B} |}$ es la distancia coordinada entre los cuerpos A y B

${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {AB} = ({\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B}) / r_ {AB}}$ es el vector unitario que apunta del cuerpo B al cuerpo A

${\ Displaystyle m_ {A}}$ es la masa del cuerpo A.

${\ Displaystyle c}$ es la velocidad de la luz

${\ Displaystyle G}$ es la constante gravitacional

y la notación O grande se utiliza para indicar que se han omitido términos de orden c- ⁴ o superiores.

Las coordenadas utilizadas aquí son armónicas . El primer término del lado derecho es la aceleración gravitacional newtoniana en  A ; en el límite cuando c  → ∞, se recupera la ley de movimiento de Newton.

La aceleración de un cuerpo en particular depende de las aceleraciones de todos los demás cuerpos. Dado que la cantidad del lado izquierdo también aparece en el lado derecho, este sistema de ecuaciones debe resolverse iterativamente. En la práctica, el uso de la aceleración newtoniana en lugar de la aceleración verdadera proporciona suficiente precisión.

Referencias

Otras lecturas

• Einstein, A .; Infeld, L .; Hoffmann, B. (1938). "Las ecuaciones gravitacionales y el problema del movimiento". Annals of Mathematics . Segunda serie. 39 (1): 65–100. Código Bibliográfico : 1938AnMat..39 ... 65E . doi : 10.2307 / 1968714 . JSTOR   1968714 .
• Kovalevsky, Jean; Seidelmann, P. Kenneth (2004). Fundamentos de Astrometría . Nueva York: Cambridge University Press . pags.  173 . ISBN   0521642167 .
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1971). La teoría clásica de campos . Oxford: Pergamon Press . pags. 337.