Clase Pontryagin - Pontryagin class

En matemáticas , las clases Pontryagin , que llevan el nombre de Lev Pontryagin , son ciertas clases características de paquetes de vectores reales. Las clases de Pontryagin se encuentran en grupos de cohomología con grados un múltiplo de cuatro.

Definición

Dado un paquete de vectores real E sobre M , su k -ésima clase Pontryagin se define como ${\ Displaystyle p_ {k} (E)}$

${\ Displaystyle p_ {k} (E) = p_ {k} (E, \ mathbb {Z}) = (- 1) ^ {k} c_ {2k} (E \ otimes \ mathbb {C}) \ in H ^ {4k} (M, \ mathbb {Z}),}$

dónde:

• ${\ Displaystyle c_ {2k} (E \ otimes \ mathbb {C})}$ denota la -ésima clase Chern de la complejación de E , ${\ displaystyle 2k}$ ${\ Displaystyle E \ otimes \ mathbb {C} = E \ oplus iE}$
• ${\ Displaystyle H ^ {4k} (M, \ mathbb {Z})}$ es la - cohomology grupo de M con enteros coeficientes. ${\ Displaystyle 4k}$

La clase racional Pontryagin se define para ser la imagen de en , el grupo -cohomology de M con racionales coeficientes. ${\ Displaystyle p_ {k} (E, \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle p_ {k} (E)}$${\ Displaystyle H ^ {4k} (M, \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle 4k}$

Propiedades

La clase Pontryagin total

${\ Displaystyle p (E) = 1 + p_ {1} (E) + p_ {2} (E) + \ cdots \ in H ^ {*} (M, \ mathbb {Z}),}$

es (módulo 2-torsión) multiplicativo con respecto a la suma de Whitney de paquetes de vectores, es decir,

${\ Displaystyle 2p (E \ oplus F) = 2p (E) \ smile p (F)}$

Vector para dos manojos E y F sobre M . En términos de las clases individuales de Pontryagin p _k ,

${\ Displaystyle 2p_ {1} (E \ oplus F) = 2p_ {1} (E) + 2p_ {1} (F),}$

${\ Displaystyle 2p_ {2} (E \ oplus F) = 2p_ {2} (E) + 2p_ {1} (E) \ smile p_ {1} (F) + 2p_ {2} (F)}$

y así.

La desaparición de las clases Pontryagin y las clases Stiefel-Whitney de un paquete de vectores no garantiza que el paquete de vectores sea trivial. Por ejemplo, hasta el isomorfismo del paquete de vectores , hay un paquete de vectores de rango 10 no trivial único sobre la esfera 9 . (La función de agarre para surge del grupo de homotopía .) Las clases Pontryagin y las clases Stiefel-Whitney desaparecen: las clases Pontryagin no existen en el grado 9, y la clase Stiefel-Whitney w ₉ de E ₁₀ desaparece por la fórmula de Wu w ₉ = w ₁ w ₈ + Sq ¹ ( w ₈ ). Además, este paquete de vectores es establemente no trivial, es decir, la suma de Whitney de E ₁₀ con cualquier paquete trivial sigue siendo no trivial. ( Hatcher 2009 , pág.76) ${\ Displaystyle E_ {10}}$${\ Displaystyle E_ {10}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {8} (\ mathrm {O} (10)) = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Dado un paquete de vectores E de 2 k dimensiones , tenemos

${\ Displaystyle p_ {k} (E) = e (E) \ smile e (E),}$

donde e ( E ) denota la clase de Euler de E , y denota el producto de copa de las clases de cohomología. ${\ Displaystyle \ smile}$

Clases de Pontryagin y curvatura

Como demostraron Shiing-Shen Chern y André Weil alrededor de 1948, las clases racionales de Pontryagin

${\ Displaystyle p_ {k} (E, \ mathbf {Q}) \ in H ^ {4k} (M, \ mathbf {Q})}$

pueden presentarse como formas diferenciales que dependen polinomialmente de la forma de curvatura de un paquete de vectores. Esta teoría de Chern-Weil reveló una conexión importante entre la topología algebraica y la geometría diferencial global.

Para un paquete vectorial E sobre una variedad diferenciable n- dimensional M equipada con una conexión , la clase Pontryagin total se expresa como

${\ Displaystyle p = \ left [1 - {\ frac {{\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {2})} {8 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {{\ rm {Tr }} (\ Omega ^ {2}) ^ {2} -2 {\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {4})} {128 \ pi ^ {4}}} - {\ frac {{\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {2}) ^ {3} -6 {\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {2}) {\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {4}) + 8 {\ rm {Tr}} (\ Omega ^ {6})} {3072 \ pi ^ {6}}} + \ cdots \ right] \ in H_ {dR} ^ {*} (M),}$

donde Ω denota la forma de curvatura , y H * _dR ( M ) denota los grupos de cohomología de De Rham .

Clases de Pontryagin de una variedad

Las clases Pontryagin de una variedad suave se definen como las clases Pontryagin de su paquete tangente .

Novikov demostró en 1966 que si dos variedades compactas, orientadas y suaves son homeomórficas, entonces sus clases pontryagin racionales p _k ( M , Q ) en H ^{4 k} ( M , Q ) son las mismas.

Si la dimensión es al menos cinco, hay como mucho un número finito de variedades suaves diferentes con un tipo de homotopía y clases de Pontryagin dados .

Clases de Pontryagin de las clases de Chern

Las clases de Pontryagin de un paquete de vectores complejo se pueden determinar completamente por sus clases de Chern. Esto se deriva del hecho de que , la fórmula de la suma de Whitney y las propiedades de las clases Chern de su conjunto conjugado complejo. Eso es, y . Entonces, esto dada la relación ${\ Displaystyle \ pi: E \ a X}$${\ Displaystyle E \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ cong E \ oplus {\ bar {E}}}$${\ Displaystyle c_ {i} ({\ bar {E}}) = (- 1) ^ {i} c_ {i} (E)}$${\ Displaystyle c (E \ oplus {\ bar {E}}) = c (E) c ({\ bar {E}})}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 1-p_ {1} (E) + p_ {2} (E) - \ cdots + (- 1) ^ {n} p_ {n} (E) = \\ (1 + c_ {1} (E) + \ cdots + c_ {n} (E)) \ cdot \\ (1-c_ {1} (E) + c_ {2} (E) - \ cdots + (- 1) ^ {n} c_ {n} (E)) \ end {alineado}}}$

por ejemplo, podemos aplicar esta fórmula para encontrar las clases Pontryagin de un paquete de vectores en una curva y una superficie. Para una curva, tenemos

${\ Displaystyle (1-c_ {1} (E)) (1 + c_ {1} (E)) = 1 + c_ {1} (E) ^ {2}}$

por lo que todas las clases de Pontryagin de paquetes de vectores complejos son triviales. En una superficie, tenemos

${\ Displaystyle (1-c_ {1} (E) + c_ {2} (E)) (1 + c_ {1} (E) + c_ {2} (E)) = 1-c_ {1} (E ) ^ {2} + 2c_ {2} (E)}$

mostrando . Paquetes en línea esto simplifica aún más ya que por razones de dimensión. ${\ Displaystyle p_ {1} (E) = c_ {1} (E) ^ {2} -2c_ {2} (E)}$${\ Displaystyle c_ {2} (L) = 0}$

Clases de Pontryagin en una superficie Quartic K3

Recuerde que un polinomio cuártico cuyo lugar de fuga en es una subvariedad suave es una superficie K3. Si usamos la secuencia normal ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$

${\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {CP} ^ {3}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O }} (4) \ a 0}$

podemos encontrar

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) & = {\ frac {c ({\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {CP} ^ {3}} | _ {X})} {c ({\ mathcal {O}} (4))}} \\ & = {\ frac {(1+ [H]) ^ {4}} {(1 + 4 [H ])}} \\ & = (1 + 4 [H] +6 [H] ^ {2}) \ cdot (1-4 [H] +16 [H] ^ {2}) \\ & = 1+ 6 [H] ^ {2} \ end {alineado}}}$

mostrando y . Dado que corresponde a cuatro puntos, debido al lema de Bezout, tenemos el segundo número chern como . Dado que en este caso, tenemos ${\ Displaystyle c_ {1} (X) = 0}$${\ Displaystyle c_ {2} (X) = 6 [H] ^ {2}}$${\ Displaystyle [H] ^ {2}}$${\ Displaystyle 24}$${\ Displaystyle p_ {1} (X) = - 2c_ {2} (X)}$

${\ Displaystyle p_ {1} (X) = - 48}$ . Este número se puede utilizar para calcular el tercer grupo de esferas de homotopía estable.

Números de Pontryagin

Los números de Pontryagin son ciertos invariantes topológicos de una variedad suave . Cada número de Pontryagin de una variedad M desaparece si la dimensión de M no es divisible por 4. Se define en términos de las clases de Pontryagin de la variedad M de la siguiente manera:

Dada una variedad de dimensiones suaves M y una colección de números naturales ${\ Displaystyle 4n}$

${\ Displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}}$ tal que , ${\ Displaystyle k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n}$

el número de Pontryagin se define por ${\ Displaystyle P_ {k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {m}}}$

${\ Displaystyle P_ {k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {m}} = p_ {k_ {1}} \ smile p_ {k_ {2}} \ smile \ cdots \ smile p_ {k_ { m}} ([M])}$

donde denota el k -ésimo clase Pontryagin y [ M ] la clase fundamental de M . ${\ Displaystyle p_ {k}}$

Propiedades

1. Los números de Pontryagin son invariantes de cobordismo orientado ; y junto con los números de Stiefel-Whitney , determinan la clase de cobordismo orientado de una variedad orientada.
2. Los números Pontryagin de variedades riemannianas cerradas (así como clases Pontryagin) se pueden calcular como integrales de ciertos polinomios a partir del tensor de curvatura de una variedad Riemanniana.
3. Las invariantes como la firma y el género se pueden expresar mediante números de Pontryagin. Para el teorema que describe la combinación lineal de números de Pontryagin que dan la firma, consulte el teorema de la firma de Hirzebruch . ${\ Displaystyle {\ hat {A}}}$

Generalizaciones

También hay una clase Pontryagin cuaterniónica , para paquetes de vectores con estructura de cuaterniones .

Ver también

• Forma de Chern-Simons
• Teorema de la firma de Hirzebruch

Referencias

• Milnor John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos . Princeton, Nueva Jersey; Tokio: Prensa de la Universidad de Princeton / Prensa de la Universidad de Tokio. ISBN   0-691-08122-0 .
• Hatcher, Allen (2009). "Paquetes de vectores y teoría K" (2.1 ed.). Cite journal requiere |journal= ( ayuda )

enlaces externos

• "Clase Pontryagin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]