Leyes de Mersenne - Mersenne's laws

Una cuerda de la mitad de la longitud (1/2), cuatro veces la tensión (4) o un cuarto de la masa por longitud (1/4) es una octava más alta (2/1).
Si la tensión de una cuerda es de diez libras, debe aumentarse a 40 libras. para un tono una octava más alto.

Una cuerda, atada en A , se mantiene en tensión mediante W , un peso suspendido y dos puentes, B y el puente móvil C , mientras que D es una rueda que se mueve libremente; todo lo que permite demostrar las leyes de Mersenne con respecto a la tensión y la longitud

Las leyes de Mersenne son leyes que describen la frecuencia de oscilación de una cuerda estirada o monocordio , útiles en la afinación musical y la construcción de instrumentos musicales .

Descripción general

La ecuación fue propuesta por primera vez por el matemático y teórico de la música francés Marin Mersenne en su obra Harmonie universelle de 1636 . Las leyes de Mersenne gobiernan la construcción y operación de instrumentos de cuerda , como pianos y arpas , que deben adaptarse a la fuerza de tensión total requerida para mantener las cuerdas en el tono adecuado. Las cuerdas inferiores son más gruesas, por lo que tienen una mayor masa por unidad de longitud. Por lo general, tienen menor tensión . Las guitarras son una excepción familiar a esto: las tensiones de las cuerdas son similares, por lo que respecta a la capacidad de interpretación, por lo que el tono de cuerda más bajo se logra en gran medida con una mayor masa por longitud. Las cuerdas de tonos más altos suelen ser más delgadas, tienen mayor tensión y pueden ser más cortas. "Este resultado no difiere sustancialmente del de Galileo , sin embargo, se conoce con razón como la ley de Mersenne", porque Mersenne demostró físicamente su verdad a través de experimentos (mientras que Galileo consideró que su prueba era imposible). "Mersenne investigó y perfeccionó estas relaciones mediante experimentos, pero no las originó él mismo". Aunque sus teorías son correctas, sus medidas no son muy exactas, y sus cálculos fueron mejorados en gran medida por Joseph Sauveur (1653-1716) mediante el uso de ritmos acústicos y metrónomos .

Ecuaciones

La frecuencia natural es:

• a) Inversamente proporcional a la longitud de la cuerda (la ley de Pitágoras),
• b) Proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de estiramiento, y
• c) Inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa por unidad de longitud.

${\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ tfrac {1} {L}}.}$ (ecuación 26)

${\ Displaystyle f_ {0} \ propto {\ sqrt {F}}.}$ (ecuación 27)

${\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu}}}.}$ (ecuación 28)

Así, por ejemplo, si todas las demás propiedades de la cuerda son iguales, para hacer que la nota sea una octava más alta (2/1) se necesitaría disminuir su longitud a la mitad (1/2), para aumentar la tensión al cuadrado ( 4), o disminuir su masa por unidad de longitud en el cuadrado inverso (1/4).

Estas leyes se derivan de la ecuación 22 de Mersenne:

${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ nu} {\ lambda}} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}}.}$

La fórmula de la frecuencia fundamental es:

${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}},}$

donde f es la frecuencia, L es la longitud, F es la fuerza y μ es la masa por unidad de longitud.

No se desarrollaron leyes similares para tubos e instrumentos de viento al mismo tiempo, ya que las leyes de Mersenne son anteriores a la concepción de que el tono de los instrumentos de viento depende de ondas longitudinales en lugar de "percusión".

Ver también

• Cicloide
• Instrumento de cuerda larga
• Conjeturas de Mersenne
• Armónico
• Onda estacionaria

Notas

Referencias

enlaces externos

• Medios relacionados con las leyes de Mersenne en Wikimedia Commons

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