Curvatura media - Mean curvature

En matemáticas , la curvatura media de una superficie es una medida extrínseca de curvatura que proviene de la geometría diferencial y que describe localmente la curvatura de una superficie incrustada en algún espacio ambiental como el espacio euclidiano . ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle S}$

El concepto fue utilizado por Sophie Germain en su trabajo sobre la teoría de la elasticidad . Jean Baptiste Marie Meusnier lo utilizó en 1776, en sus estudios de superficies mínimas . Es importante en el análisis de superficies mínimas , que tienen una curvatura media cero, y en el análisis de interfaces físicas entre fluidos (como películas de jabón ) que, por ejemplo, tienen una curvatura media constante en flujos estáticos, según la ecuación de Young-Laplace. .

Definición

Sea un punto en la superficie . Cada plano que pasa por contiene la línea normal para cortar en una curva (plana). La fijación de una opción de unidad normal le da una curvatura con signo a esa curva. A medida que el plano gira en un ángulo (que siempre contiene la línea normal), esa curvatura puede variar. La máxima curvatura y mínima curvatura se conocen como las curvaturas principales de . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ kappa _ {1}}$${\ Displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ Displaystyle S}$

La curvatura media en es entonces el promedio de la curvatura con signo en todos los ángulos : ${\ Displaystyle p \ in S}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ theta) \; d \ theta}$.

Al aplicar el teorema de Euler , esto es igual al promedio de las curvaturas principales ( Spivak 1999 , Volumen 3, Capítulo 2):

${\ Displaystyle H = {1 \ over 2} (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}).}$

De manera más general ( Spivak 1999 , Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie la curvatura media se da como ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ kappa _ {i}.}$

De manera más abstracta, la curvatura media es el rastro de la segunda forma fundamental dividida por n (o de manera equivalente, el operador de forma ).

Además, la curvatura media se puede escribir en términos de la derivada covariante como ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle H {\ vec {n}} = g ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} X,}$

utilizando las relaciones de Gauss-Weingarten, donde hay una hipersuperficie suavemente incrustada, un vector normal unitario y el tensor métrico . ${\ Displaystyle X (x)}$${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$${\ Displaystyle g_ {ij}}$

Una superficie es una superficie mínima si y solo si la curvatura media es cero. Además, se dice que una superficie que evoluciona bajo la curvatura media de la superficie obedece a una ecuación de tipo de calor llamada ecuación de flujo de curvatura media . ${\ Displaystyle S}$

La esfera es la única superficie incrustada de curvatura media positiva constante sin límites ni singularidades. Sin embargo, el resultado no es cierto cuando la condición "superficie incrustada" se debilita a "superficie sumergida".

Superficies en el espacio 3D

Para una superficie definida en el espacio 3D, la curvatura media está relacionada con una unidad normal de la superficie:

${\ Displaystyle 2H = - \ nabla \ cdot {\ hat {n}}}$

donde la normal elegida afecta al signo de la curvatura. El signo de la curvatura depende de la elección de la normal: la curvatura es positiva si la superficie se curva "hacia" la normal. La fórmula anterior es válida para superficies en el espacio 3D definidas de cualquier manera, siempre que se pueda calcular la divergencia de la unidad normal. La curvatura media también se puede calcular

${\ Displaystyle 2H = {\ text {Trace}} ((\ mathrm {II}) (\ mathrm {I} ^ {- 1}))}$

donde I y II denotan matrices de primera y segunda forma cuadrática, respectivamente.

Si es una parametrización de la superficie y son dos vectores linealmente independientes en el espacio de parámetros, entonces la curvatura media se puede escribir en términos de la primera y segunda formas fundamentales como ${\ Displaystyle S (x, y)}$${\ Displaystyle u, v}$

donde . ${\ Displaystyle E = \ mathrm {I} (u, u), F = \ mathrm {I} (u, v), G = \ mathrm {I} (v, v), l = \ mathrm {II} ( u, u), m = \ mathrm {II} (u, v), n = \ mathrm {II} (v, v)}$

Para el caso especial de una superficie definida como una función de dos coordenadas, por ejemplo , y usando la normal que apunta hacia arriba, la expresión de curvatura media (duplicada) es ${\ Displaystyle z = S (x, y)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 2H & = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla (zS)} {| \ nabla (zS) |}} \ right) \\ & = \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla S- \ nabla z} {\ sqrt {1+ | \ nabla S | ^ {2}}}} \ right) \\ & = {\ frac {\ left (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial x \ parcial y}} + \ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial x ^ { 2}}}} {\ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {3/2}}}. \ end {alineado}}}$

En particular, en un punto en el que la curvatura media es la mitad de la traza de la matriz de Hesse de . ${\ Displaystyle \ nabla S = 0}$${\ Displaystyle S}$

Si además se sabe que la superficie es axisimétrica con , ${\ Displaystyle z = S (r)}$

${\ Displaystyle 2H = {\ frac {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial r ^ {2}}} {\ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {3/2}}} + {\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} {\ frac {1} {r \ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {1/2}}},}$

de donde viene la derivada de . ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} {\ frac {1} {r}}}$${\ Displaystyle z = S (r) = S \ left (\ scriptstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}$

Forma implícita de curvatura media

La curvatura media de una superficie especificada por una ecuación se puede calcular utilizando el gradiente y la matriz de Hesse.${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ Displaystyle \ nabla F = \ izquierda ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}}, {\ frac {\ parcial F} {\ parcial z}} \ derecha)}$

${\ Displaystyle \ textstyle {\ mbox {Hess}} (F) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ y parcial \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial y} } & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z ^ {2}}} \ end {pmatrix}}.}$

La curvatura media viene dada por:

${\ Displaystyle H = {\ frac {\ nabla F \ {\ mbox {Hess}} (F) \ \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} - | \ nabla F | ^ {2} \, {\ text {Trace}} ({\ mbox {Hess}} (F))} {2 | \ nabla F | ^ {3}}}}$

Otra forma es como la divergencia de la unidad normal. Una unidad normal viene dada por y la curvatura media es ${\ Displaystyle {\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}}}$

${\ Displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}} \ right).}$

Curvatura media en mecánica de fluidos

Ocasionalmente se usa una definición alternativa en mecánica de fluidos para evitar factores de dos:

${\ Displaystyle H_ {f} = (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) \,}$.

Esto da como resultado que la presión de acuerdo con la ecuación de Young-Laplace dentro de una gota esférica de equilibrio sean tiempos de tensión superficial ; las dos curvaturas son iguales al recíproco del radio de la gota ${\ Displaystyle H_ {f}}$

${\ Displaystyle \ kappa _ {1} = \ kappa _ {2} = r ^ {- 1} \,}$.

Superficies mínimas

Una superficie mínima es una superficie que tiene una curvatura media cero en todos los puntos. Los ejemplos clásicos incluyen la superficie catenoide , helicoide y Enneper . Los descubrimientos recientes incluyen la superficie mínima de Costa y el Gyroid .

Superficies CMC

Una extensión de la idea de una superficie mínima son las superficies de curvatura media constante. Las superficies de curvatura media constante unitaria en el espacio hiperbólico se denominan superficies de Bryant .

Ver también

• Curvatura gaussiana
• Flujo de curvatura media
• Flujo de curvatura media inversa
• Primera variación de la fórmula del área
• Método de cuadrícula estirada

Notas

Referencias

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (Volúmenes 3-4) (3a ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volumen 3), (Volumen 4).
• P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies móviles . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.