Función de ira - Anger function

En matemáticas, la función Anger , introducida por CT Anger  ( 1855 ), es una función definida como

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

y está estrechamente relacionado con las funciones de Bessel .

La función de Weber (también conocida como función de Lommel-Weber ), introducida por HF Weber  ( 1879 ), es una función estrechamente relacionada definida por

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

y está estrechamente relacionado con las funciones de Bessel del segundo tipo.

Relación entre las funciones de Weber y Anger

Las funciones Anger y Weber están relacionadas por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {alineado}}}$

entonces, en particular, si ν no es un número entero, se pueden expresar como combinaciones lineales entre sí. Si ν es un número entero, entonces las funciones de Anger J _ν son las mismas que las funciones de Bessel J _ν , y las funciones de Weber se pueden expresar como combinaciones lineales finitas de funciones de Struve .

Expansión de la serie Power

La función Anger tiene la expansión de la serie de potencia

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Mientras que la función Weber tiene la expansión de la serie de potencia

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Ecuaciones diferenciales

Las funciones de Anger y Weber son soluciones de formas no homogéneas de la ecuación de Bessel

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Más precisamente, las funciones de Anger satisfacen la ecuación

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

y las funciones de Weber satisfacen la ecuación

${\ Displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Relaciones de recurrencia

La función Anger satisface esta forma no homogénea de relación de recurrencia

${\ Displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Mientras que la función de Weber satisface esta forma no homogénea de relación de recurrencia

${\ Displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Ecuaciones diferenciales de retardo

Las funciones Anger y Weber satisfacen estas formas homogéneas de ecuaciones diferenciales de retardo

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ Partical} {\ Partical z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Las funciones Anger y Weber también satisfacen estas formas no homogéneas de ecuaciones diferenciales de retardo.

${\ Displaystyle z {\ dfrac {\ parcial} {\ parcial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ Displaystyle z {\ dfrac {\ parcial} {\ parcial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 12" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . Señor   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. D. Naturf. D. Ges. I. Danzig, 5 (1855) págs. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función de la ira" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función de Weber" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• GN Watson , "Un tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel", 1–2, Cambridge Univ. Prensa (1952)
• HF Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) págs. 33–76