Teoría de elevación - Lifting theory

En matemáticas, la teoría del levantamiento fue introducida por primera vez por John von Neumann en un artículo pionero de 1931, en el que respondió a una pregunta planteada por Alfréd Haar . La teoría fue desarrollada por Dorothy Maharam (1958) y por Alexandra Ionescu Tulcea y Cassius Ionescu Tulcea (1961). La teoría del levantamiento fue motivada en gran medida por sus sorprendentes aplicaciones. Su desarrollo hasta 1969 fue descrito en una monografía de Ionescu Tulceas. La teoría del levantamiento continuó desarrollándose desde entonces, produciendo nuevos resultados y aplicaciones.

Definiciones

Un levantamiento en un espacio de medida es un inverso lineal y multiplicativo. ${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ Displaystyle T \ colon L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

del mapa del cociente

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \\ f \ mapsto [f] \ end {cases}}}$

donde es el espacio seminormado L ^p de funciones mensurables y es su cociente normalizado habitual. En otras palabras, un levantamiento elige de cada clase de equivalencia [ f ] de funciones medibles acotadas módulo insignificante funciones un representante - que en adelante se escribe T ([ f ]) o T [ f ] o simplemente Tf - de tal manera que ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ Displaystyle T (r [f] + s [g]) (p) = rT [f] (p) + sT [g] (p), \ qquad \ forall p \ in X, r, s \ in \ mathbf {R};}$

${\ Displaystyle T ([f] \ times [g]) (p) = T [f] (p) \ times T [g] (p), \ qquad \ forall p \ in X;}$

${\ Displaystyle T [1] = 1.}$

Las elevaciones se utilizan para producir desintegraciones de medidas , por ejemplo , distribuciones de probabilidad condicionales dadas variables aleatorias continuas, y fibraciones de medida de Lebesgue en los conjuntos de niveles de una función.

Existencia de ascensores

Teorema. Suponga que ( X , Σ, μ ) está completo. Entonces ( X , Σ, μ ) admite una elevación si y sólo si existe una colección de conjuntos integrables mutuamente disjuntos en Σ cuya unión es  X . En particular, si ( X , Σ, μ ) es la finalización de una medida σ -finita o de una medida de Borel regular interna en un espacio localmente compacto, entonces ( X , Σ, μ ) admite un levantamiento.

La demostración consiste en extender un levantamiento a sub- σ -álgebras cada vez mayores , aplicando el teorema de convergencia de martingala de Doob si se encuentra una cadena contable en el proceso.

Elevaciones fuertes

Suponga que ( X , Σ, μ ) está completo y X está equipado con una topología de Hausdorff completamente regular τ ⊂ Σ tal que la unión de cualquier colección de conjuntos abiertos despreciables es nuevamente despreciable; este es el caso si ( X , Σ, μ ) es σ -finito o proviene de una medida de radón . Entonces, el soporte de μ , Supp ( μ ), se puede definir como el complemento del subconjunto abierto despreciable más grande, y pertenece la colección C _b ( X , τ ) de funciones continuas acotadas . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

Un levantamiento fuerte para ( X , Σ, μ ) es un levantamiento

${\ Displaystyle T: L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

tal que Tφ = φ en Supp ( μ ) para todo φ en C _b ( X , τ). Esto es lo mismo que requerir que TU ≥ ( U ∩ Supp ( μ )) para todos los conjuntos abiertos U en  τ .

Teorema. Si (Σ, μ ) es σ -finito y completo y τ tiene una base contable, entonces ( X , Σ, μ ) admite una elevación fuerte.

Prueba. Sea T ₀ una elevación para ( X , Σ, μ ) y { U ₁ , U ₂ , ...} una base contable para τ . Para cualquier punto p en el conjunto insignificante

${\ Displaystyle N: = \ bigcup \ nolimits _ {n} \ left \ {p \ in \ mathrm {Supp} (\ mu) :( T_ {0} U_ {n}) (p) <U_ {n} ( p) \ derecha \}}$

sea T _p cualquier carácter en L ^∞ ( X , Σ, μ ) que extienda el carácter φ ↦ φ ( p ) de C _b ( X , τ). Entonces para p en X y [ f ] en L ^∞ ( X , Σ, μ ) defina:

${\ Displaystyle (T [f]) ​​(p): = {\ begin {cases} (T_ {0} [f]) ​​(p) & p \ notin N \\ T_ {p} [f] & p \ in N. \ end {cases}}}$

T es el levantamiento fuerte deseado.

Aplicación: desintegración de una medida.

Suponga que ( X , Σ, μ ), ( Y , Φ, ν) son σ- espacios de medida finitos ( μ , ν positivo) y π  : X → Y es un mapa medible. Una desintegración de μ a lo largo de π con respecto a ν es una serie de medidas positivas σ -aditivas en ( X , Σ) tales que ${\ Displaystyle Y \ ni y \ mapsto \ lambda _ {y}}$

1. λ _y es transportada por la fibra de π sobre y :${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (\ {y \})}$

${\ Displaystyle \ {y \} \ in \ Phi \; \; \ mathrm {y} \; \; \ lambda _ {y} \ left ((X \ setminus \ pi ^ {- 1} (\ {y \ }) \ right) = 0 \ qquad \ forall y \ in Y}$

1. para cada función f integrable μ ,

${\ Displaystyle \ int _ {X} f (p) \; \ mu (dp) = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp) \ right) \ nu (dy) \ qquad (*)}$

en el sentido de que, para ν -casi todo y en Y , f es λ _y -integrable, la función

${\ Displaystyle y \ mapsto \ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp)}$

es ν-integrable y se mantiene la igualdad mostrada (*).

Las desintegraciones existen en diversas circunstancias, las pruebas varían, pero casi todas utilizan fuertes levantamientos. Aquí hay un resultado bastante general. Su breve prueba le da el sabor general.

Teorema. Suponga que X es un espacio polaco e Y un espacio separable de Hausdorff, ambos equipados con sus σ -álgebras de Borel . Sea μ una medida σ -finita de Borel en X y π: X → Y un mapa Σ, Φ-medible. Entonces existe una medida de Borel σ-finita ν en Y y una desintegración (*). Si μ es finito, ν puede tomarse como el empuje hacia adelante π _∗ μ , y luego λ _y son probabilidades.

Prueba. Debido a la naturaleza pulida de X, existe una secuencia de subconjuntos compactos de X que son mutuamente disjuntos, cuya unión tiene un complemento insignificante y en el que π es continuo. Esta observación reduce el problema al caso de que tanto X como Y son compactos y π es continuo, y ν = π _∗ μ . Complete Φ debajo de ν y fije una T de elevación fuerte para ( Y , Φ, ν ). Dado un delimitada μ función medible f , vamos denotan su expectativa condicional bajo π, es decir, el derivado de Radon-Nikodym de π _* ( fμ ) con respecto a pi _* μ . Luego establezca, para cada y en Y , Demostrar que esto define una desintegración es una cuestión de contabilidad y un teorema de Fubini adecuado. Para ver cómo entra la fuerza del lifting, tenga en cuenta que ${\ Displaystyle \ lfloor f \ rfloor}$${\ Displaystyle \ lambda _ {y} (f): = T (\ lfloor f \ rfloor) (y).}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {y} (f \ cdot \ varphi \ circ \ pi) = \ varphi (y) \ lambda _ {y} (f) \ qquad \ forall y \ in Y, \ varphi \ in C_ { b} (Y), f \ in L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

y tomar el mínimo sobre todo φ positivo en C _b ( Y ) con φ ( y ) = 1; se hace evidente que el soporte de λ _{y se} encuentra en la fibra sobre  y .

Referencias