La desigualdad de Lieb-Thirring - Lieb–Thirring inequality

En matemáticas y física , las desigualdades de Lieb-Thirring proporcionan un límite superior en las sumas de potencias de los valores propios negativos de un operador de Schrödinger en términos de integrales del potencial. Llevan el nombre de EH Lieb y WE Thirring .

Las desigualdades son útiles en estudios de mecánica cuántica y ecuaciones diferenciales e implican, como corolario, un límite inferior en la energía cinética de las partículas de la mecánica cuántica que juega un papel importante en la prueba de estabilidad de la materia . ${\ Displaystyle N}$

Declaración de las desigualdades

Para el operador de Schrödinger en con un potencial de valor real , los números denotan la secuencia (no necesariamente finita) de valores propios negativos. Entonces, para y satisfaciendo una de las condiciones ${\ Displaystyle - \ Delta + V (x) = - \ nabla ^ {2} + V (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle V (x): \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq 0}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ gamma \ geq {\ frac {1} {2}} &, \, n = 1, \\\ gamma> 0 &, \, n = 2, \\\ gamma \ geq 0 &, \, n \ geq 3, \ end {alineado}}}$

existe una constante , que solo depende de y , tal que ${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j \ geq 1} | \ lambda _ {j} | ^ {\ gamma} \ leq L _ {\ gamma, n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V ( x) _ {-} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

( 1 )

donde está la parte negativa del potencial . Los casos así como fueron probados por EH Lieb y WE Thirring en 1976 y utilizados en su prueba de estabilidad de la materia. En el caso del lado izquierdo es simplemente el número de valores propios negativos, y M. Cwikel., EH Lieb y GV Rozenbljum dieron las demostraciones de forma independiente. Por tanto, la desigualdad resultante también se denomina límite de Cwikel-Lieb-Rosenbljum. El caso crítico restante fue probada para retención por T. Weidl Las condiciones en y son necesarias y no puede ser relajada. ${\ Displaystyle V (x) _ {-}: = \ max (-V (x), 0)}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ gamma> 1/2, n = 1}$${\ Displaystyle \ gamma> 0, n \ geq 2}$${\ Displaystyle \ gamma = 0, n \ geq 3}$${\ Displaystyle \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ gamma = 1/2, n = 1}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle n}$

Constantes de Lieb-Thirring

Aproximación semiclásica

Las desigualdades de Lieb-Thirring se pueden comparar con el límite semiclásico. El espacio de fase clásico consta de pares . Identificar el operador de momento con y asumir que cada estado cuántico está contenido en un volumen en el espacio de fase -dimensional, la aproximación semiclásica ${\ Displaystyle (p, x) \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ Displaystyle - \ mathrm {i} \ nabla}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {n}}$${\ Displaystyle 2n}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j \ geq 1} | \ lambda _ {j} | ^ {\ gamma} \ approx {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big (} p ^ {2} + V (x) {\ big)} _ {-} ^ {\ gamma} \ mathrm {d} ^ {n} p \ mathrm {d} ^ {n} x = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n }} V (x) _ {-} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

se deriva con la constante

${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} = (4 \ pi) ^ {- {\ frac {n} {2}}} {\ frac {\ Gamma (\ gamma +1) } {\ Gamma (\ gamma +1 + {\ frac {n} {2}})}} \ ,.}$

Si bien la aproximación semiclásica no necesita ninguna suposición , las desigualdades de Lieb-Thirring solo son válidas para las adecuadas . ${\ Displaystyle \ gamma> 0}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Asintóticas de Weyl y constantes agudas

Se han publicado numerosos resultados sobre la mejor constante posible en ( 1 ), pero este problema todavía está parcialmente abierto. La aproximación semiclásica se vuelve exacta en el límite del gran acoplamiento, es decir, para los potenciales la asintótica de Weyl.${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ Displaystyle \ beta V}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ beta \ to \ infty} {\ frac {1} {\ beta ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}}}} \ mathrm {tr} (- \ Delta + \ beta V) _ {-} ^ {\ gamma} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V (x) _ { -} ^ {\ gamma + {\ frac {n} {2}}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

mantener. Esto implica eso . Lieb y Thirring fueron capaces de demostrar que para . M. Aizenman y EH Lieb demostraron que para una dimensión fija la relación es una función monótona , no creciente de . Posteriormente también fue demostrado para sostener todo cuando por A. Laptev y T. Weidl. Para D. Hundertmark, EH Lieb y LE Thomas demostraron que la mejor constante está dada por . ${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} \ leq L _ {\ gamma, n}}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ Displaystyle \ gamma \ geq 3/2, n = 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} / L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} = L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ gamma \ geq 3/2}$${\ Displaystyle \ gamma = 1/2, \, n = 1}$${\ displaystyle L_ {1 / 2,1} = 2L_ {1 / 2,1} ^ {\ mathrm {cl}} = 1/2}$

Por otro lado, se sabe que para y para . En el primer caso, Lieb y Thirring conjeturaron que la constante aguda está dada por ${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n} ^ {\ mathrm {cl}} <L _ {\ gamma, n}}$${\ Displaystyle 1/2 \ leq \ gamma <3/2, n = 1}$${\ Displaystyle \ gamma <1, d \ geq 1}$

${\ displaystyle L _ {\ gamma, 1} = 2L _ {\ gamma, 1} ^ {\ mathrm {cl}} \ left ({\ frac {\ gamma - {\ frac {1} {2}}} {\ gamma + {\ frac {1} {2}}}} \ right) ^ {\ gamma - {\ frac {1} {2}}}.}$

El valor más conocido para la constante física relevante es y la constante más pequeña conocida en la desigualdad de Cwikel-Lieb-Rosenbljum es . En la bibliografía se puede encontrar un estudio completo de los valores de para actualmente más conocidos . ${\ Displaystyle L_ {1,3}}$${\ Displaystyle \ pi L_ {1,3} ^ {\ mathrm {cl}} / {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 6.869L_ {0, n} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n}}$

Desigualdades de energía cinética

La desigualdad de Lieb-Thirring para es equivalente a un límite inferior en la energía cinética de una función de onda de partículas normalizada dada en términos de la densidad de un cuerpo. Para una función de onda antisimétrica tal que ${\ Displaystyle \ gamma = 1}$${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ psi \ en L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {Nn})}$

${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {N}) = - \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ { j}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {N})}$

para todos , la densidad de un cuerpo se define como ${\ Displaystyle 1 \ leq i, j \ leq N}$

${\ Displaystyle \ rho _ {\ psi} (x) = N \ int _ {\ mathbb {R} ^ {(N-1) n}} | \ psi (x, x_ {2} \ dots, x_ {N }) | ^ {2} \ mathrm {d} ^ {n} x_ {2} \ cdots \ mathrm {d} ^ {n} x_ {N}, \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} .}$

La desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) para es equivalente a la afirmación de que ${\ Displaystyle \ gamma = 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla _ {i} \ psi | ^ {2} \ mathrm {d} ^ { n} x_ {i} \ geq K_ {n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ rho _ {\ psi} (x) ^ {1 + {\ frac {2} {n} }}} \ mathrm {d} ^ {n} x}$

( 2 )

donde la constante aguda se define mediante ${\ Displaystyle K_ {n}}$

${\ Displaystyle \ left (\ left (1 + {\ frac {2} {n}} \ right) K_ {n} \ right) ^ {1 + {\ frac {n} {2}}} \ left (\ izquierda (1 + {\ frac {n} {2}} \ derecha) L_ {1, n} \ derecha) ^ {1 + {\ frac {2} {n}}} = 1 \ ,.}$

La desigualdad se puede extender a partículas con estados de espín reemplazando la densidad de un cuerpo por la densidad de un cuerpo sumada a espín. Entonces, la constante debe ser reemplazada por donde es el número de estados de espín cuántico disponibles para cada partícula ( para los electrones). Si la función de onda es simétrica, en lugar de antisimétrica, de modo que ${\ Displaystyle K_ {n}}$${\ Displaystyle K_ {n} / q ^ {2 / n}}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle q = 2}$

${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {n}) = \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {j }, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {n})}$

para todos , la constante debe ser reemplazada por . La desigualdad ( 2 ) describe la energía cinética mínima necesaria para lograr una densidad dada con partículas en dimensiones. Si se demuestra que se cumple, el lado derecho de ( 2 ) para sería precisamente el término de energía cinética en la teoría de Thomas-Fermi . ${\ Displaystyle 1 \ leq i, j \ leq N}$${\ Displaystyle K_ {n}}$${\ Displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ Displaystyle \ rho _ {\ psi}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle L_ {1,3} = L_ {1,3} ^ {\ mathrm {cl}}}$${\ Displaystyle n = 3}$

La desigualdad se puede comparar con la desigualdad de Sobolev . M. Rumin derivó la desigualdad de energía cinética ( 2 ) (con una constante más pequeña) directamente sin el uso de la desigualdad de Lieb-Thirring.

La estabilidad de la materia

La desigualdad de energía cinética juega un papel importante en la prueba de estabilidad de la materia presentada por Lieb y Thirring. El hamiltoniano en consideración describe un sistema de partículas con estados de espín y núcleos fijos en ubicaciones con cargas . Las partículas y los núcleos interactúan entre sí a través de la fuerza electrostática de Coulomb y se puede introducir un campo magnético arbitrario . Si las partículas en consideración son fermiones (es decir, la función de onda es antisimétrica), entonces la desigualdad de energía cinética ( 2 ) se mantiene con la constante (no ). Este es un ingrediente crucial en la prueba de estabilidad de la materia para un sistema de fermiones. Asegura que la energía del estado fundamental del sistema pueda estar acotada desde abajo por una constante que depende solo del máximo de las cargas del núcleo , multiplicado por el número de partículas, ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R_ {j} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle Z_ {j}> 0}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle K_ {n} / q ^ {2 / n}}$${\ Displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ Displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, \ dots, Z_ {M})}$${\ Displaystyle Z _ {\ max}}$

${\ Displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, \ dots, Z_ {M}) \ geq -C (Z _ {\ max}) (M + N) \ ,.}$

El sistema es entonces estable del primer tipo ya que la energía del estado fundamental está delimitada desde abajo y también estable del segundo tipo, es decir, la energía de disminuye linealmente con el número de partículas y núcleos. En comparación, si se supone que las partículas son bosones (es decir, la función de onda es simétrica), entonces la desigualdad de energía cinética ( 2 ) se mantiene solo con la constante y para la energía del estado fundamental solo se cumple un límite de la forma . Dado que se puede demostrar que la potencia es óptima, un sistema de bosones es estable del primer tipo pero inestable del segundo tipo. ${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$${\ Displaystyle -CN ^ {5/3}}$${\ Displaystyle 5/3}$

Generalizaciones

Si el Laplaciano se reemplaza por , donde está un potencial vectorial de campo magnético en , la desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) permanece verdadera. La prueba de esta afirmación utiliza la desigualdad diamagnética. Aunque todas las constantes conocidas actualmente permanecen sin cambios, no se sabe si esto es cierto en general para la mejor constante posible. ${\ Displaystyle - \ Delta = - \ nabla ^ {2}}$${\ Displaystyle (\ mathrm {i} \ nabla + A (x)) ^ {2}}$${\ Displaystyle A (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n}}$

El laplaciano también puede ser reemplazado por otros poderes de . En particular para el operador , una desigualdad de Lieb-Thirring similar a ( 1 ) se mantiene con una constante diferente y con la potencia en el lado derecho reemplazada por . De manera análoga , se cumple una desigualdad cinética similar a ( 2 ), con reemplazado por , que puede usarse para probar la estabilidad de la materia para el operador relativista de Schrödinger bajo supuestos adicionales sobre las cargas . ${\ Displaystyle - \ Delta}$${\ Displaystyle {\ sqrt {- \ Delta}}}$${\ Displaystyle L _ {\ gamma, n}}$${\ Displaystyle \ gamma + n}$${\ Displaystyle 1 + 2 / n}$${\ Displaystyle 1 + 1 / n}$${\ Displaystyle Z_ {k}}$

En esencia, la desigualdad de Lieb-Thirring ( 1 ) da un límite superior en las distancias de los valores propios al espectro esencial en términos de la perturbación . Se pueden demostrar desigualdades similares para los operadores de Jacobi . ${\ Displaystyle \ lambda _ {j}}$ ${\ Displaystyle [0, \ infty)}$${\ Displaystyle V}$

Referencias

Literatura

• Lieb, EH; Seiringer, R. (2010). La estabilidad de la materia en mecánica cuántica (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN   9780521191180 .
• Hundertmark, D. (2007). "Algunos problemas de estado ligado en mecánica cuántica". En Fritz Gesztesy; Percy Deift; Cherie Galvez; Peter Perry; Wilhelm Schlag (eds.). Teoría espectral y física matemática: un Festschrift en honor al 60 cumpleaños de Barry Simon . Actas de simposios en matemáticas puras. 76 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 463–496. Código bibliográfico : 2007stmp.conf..463H . ISBN   978-0-8218-3783-2 .