Lema del número de Lebesgue - Lebesgue's number lemma

En topología , el lema numérico de Lebesgue , que lleva el nombre de Henri Lebesgue , es una herramienta útil en el estudio de espacios métricos compactos . Afirma:

Si el espacio métrico es compacto y una cubierta abierta de se da, entonces existe un número tal que cada subconjunto de tener un diámetro menor que está contenida en algún miembro de la cubierta.

{\ Displaystyle (X, d)}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle \ delta> 0}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle \ delta}

Este número se denomina número de Lebesgue de esta portada. La propia noción de un número de Lebesgue también es útil en otras aplicaciones. ${\ Displaystyle \ delta}$

Prueba

Sea una tapa abierta de . Como es compacto, podemos extraer una subcubierta finita . Si alguno de los es igual , cualquiera servirá como número de Lebesgue. De lo contrario, para cada uno , tengamos en cuenta que no está vacío y defina una función por . ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ {A_ {1}, \ dots, A_ {n} \} \ subseteq {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ ${\ Displaystyle C_ {i}: = X \ setminus A_ {i}}$ ${\ Displaystyle C_ {i}}$ ${\ Displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f (x): = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (x, C_ {i})}$

Dado que es continuo en un conjunto compacto, alcanza un mínimo . La observación clave es que, dado que todos están contenidos en algunos , se muestra el teorema del valor extremo . Ahora podemos verificar que este es el número de Lebesgue deseado. Si es un subconjunto de diámetro menor que , entonces existe tal que , donde denota la bola de radio centrada en (es decir, se puede elegir como cualquier punto en ). Dado que debe existir al menos uno de esos . Pero esto significa eso y, en particular ,. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$ ${\ Displaystyle Y \ subseteq B _ {\ delta} (x_ {0})}$ ${\ Displaystyle B _ {\ delta} (x_ {0})}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f (x_ {0}) \ geq \ delta}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle d (x_ {0}, C_ {i}) \ geq \ delta}$ ${\ Displaystyle B _ {\ delta} (x_ {0}) \ subseteq A_ {i}}$ ${\ Displaystyle Y \ subseteq A_ {i}}$