Irregularidad de una superficie - Irregularity of a surface

En matemáticas, la irregularidad de una superficie compleja X es el número de Hodge , generalmente denotado por q. La irregularidad de una superficie algebraica a veces se define como este número de Hodge, y a veces se define como la dimensión de la variedad Picard , que es la misma en el carácter 0 pero puede ser menor en el carácter positivo.

El nombre "irregularidad" proviene del hecho de que para las primeras superficies investigadas en detalle, las superficies complejas lisas en P 3 , la irregularidad pasa a desaparecer. La irregularidad apareció entonces como un nuevo término de "corrección" que mide la diferencia del género geométrico y el género aritmético de superficies más complicadas. Las superficies a veces se denominan regulares o irregulares dependiendo de si la irregularidad desaparece o no.

Para una variedad analítica compleja X de dimensión general, el número de Hodge se denomina irregularidad de y se denota por q .

Superficies complejas

Para superficies proyectivas complejas no singulares (o Kähler ), los siguientes números son todos iguales:

Para superficies en característica positiva, o para superficies complejas que no son de Kähler, no es necesario que todos los números anteriores sean iguales.

Henri Poincaré demostró que para superficies proyectivas complejas, la dimensión de la variedad Picard es igual al número de Hodge h 0,1 , y lo mismo es cierto para todas las superficies compactas de Kähler. La irregularidad de las superficies lisas y compactas de Kähler es invariable bajo transformaciones bimeromórficas.

Para superficies complejas compactas generales, los dos números de Hodge h 1,0 y h 0,1 no necesitan ser iguales, pero h 0,1 es h 1,0 o h 1,0 +1, y es igual ah 1,0 para superficies compactas de Kähler .

Característica positiva

En campos de característica positiva , la relación entre q (definida como la dimensión de la variedad Picard o Albanese) y los números de Hodge h 0,1 y h 1,0 es más complicada, y dos de ellos pueden ser diferentes.

Existe un mapa canónico de una superficie F a su variedad albanesa A que induce un homomorfismo desde el espacio cotangente de la variedad albanesa (de dimensión q ) a H 1,0 ( F ). Jun-Ichi Igusa encontró que esto es inyectiva, de modo que , pero poco después encontró una superficie en la característica 2 con y Picard variedad de dimensión 1, de modo que q puede ser estrictamente menor que ambos números Hodge. En la característica positiva, ninguno de los números de Hodge está siempre limitado por el otro. Serre mostró que es posible que h 1,0 desaparezca mientras que h 0,1 es positivo, mientras que Mumford mostró que para las superficies de Enriques en la característica 2 es posible que h 0,1 desaparezca mientras que h 1,0 es positivo.

Alexander Grothendieck dio una descripción completa de la relación de q con todas las características. La dimensión del espacio tangente al esquema de Picard (en cualquier punto) es igual a . En la característica 0, un resultado de Pierre Cartier mostró que todos los esquemas de grupos de tipo finito son no singulares, por lo que la dimensión de su espacio tangente es su dimensión. Por otro lado, en característica positiva es posible que un esquema de grupo no se reduzca en cada punto de modo que la dimensión sea menor que la dimensión de cualquier espacio tangente, que es lo que ocurre en el ejemplo de Igusa. Mumford muestra que el espacio tangente a la variedad Picard es el subespacio de H 0,1 aniquilado por todas las operaciones de Bockstein desde H 0,1 a H 0,2 , por lo que la irregularidad q es igual ah 0,1 si y solo si todos estas operaciones de Bockstein desaparecen.

Referencias

  1. ^ Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
  2. ^ Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Clasificación de superficies de Enriques en el carácter p. II", Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 23–42, MR  0491719
  3. ↑ Poincaré, Henri (1910), "Sur les courbes tracées sur les surface algébriques" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3, 27 : 55-108, doi : 10.24033 / asens.617
  4. ^ a b Igusa, Jun-Ichi (1955), "Una desigualdad fundamental en la teoría de las variedades Picard", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 41 (5): 317–320, doi : 10.1073 /pnas.41.5.317 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  89124 , MR  0071113 , PMC  528086 , PMID  16589672
  5. ^ Serre, Jean-Pierre (1958), "Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique p", Symposium internacional de topología algebraica , Universidad Nacional Autónoma de México y UNESCO, Ciudad de México, págs. 24-53, MR  0098097
  6. ^ a b Mumford, David (1961), "Patologías de superficies algebraicas modulares" (PDF) , American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 83 (2): 339–342, doi : 10.2307 / 2372959 , ISSN  0002- 9327 , JSTOR  2.372.959 , MR  0124328
  7. ^ Grothendieck, Alexander (1961), Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert , Séminaire Bourbaki 221