Principio máximo de Hausdorff - Hausdorff maximal principle

En matemáticas , el principio máximo de Hausdorff es una formulación alternativa y anterior del lema de Zorn probado por Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982: 168). Establece que en cualquier conjunto parcialmente ordenado , cada subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado.

El principio máximo de Hausdorff es uno de los muchos enunciados equivalentes al axioma de elección sobre ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). El principio también se denomina teorema de máxima de Hausdorff o lema de Kuratowski (Kelley 1955: 33).

Declaración

El principio máximo de Hausdorff establece que, en cualquier conjunto parcialmente ordenado , cada subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado (un subconjunto totalmente ordenado que, si se agranda de alguna manera, no permanece totalmente ordenado). En general, puede haber muchos subconjuntos máximos totalmente ordenados que contengan un subconjunto dado totalmente ordenado.

Una forma equivalente del principio máximo de Hausdorff es que en cada conjunto parcialmente ordenado existe un subconjunto máximo totalmente ordenado. Para demostrar que este enunciado se sigue de la forma original, sea A un conjunto parcialmente ordenado. Entonces es un subconjunto totalmente ordenado de A , por lo tanto, existe un subconjunto máximo totalmente ordenado que contiene , por lo tanto, en particular, A contiene un subconjunto máximo totalmente ordenado. Para la dirección inversa, deja que A sea un conjunto parcialmente ordenado y T un subconjunto totalmente ordenado de A . Entonces ${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle \ varnothing}$

${\ Displaystyle \ {S \ mid T \ subseteq S \ subseteq A {\ mbox {y S totalmente ordenados}} \}}$

está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos , por lo tanto, contiene un subconjunto máximo P totalmente ordenado . Entonces el conjunto satisface las propiedades deseadas. ${\ Displaystyle \ subseteq}$${\ Displaystyle M = \ bigcup P}$

La prueba de que el principio máximo de Hausdorff es equivalente al lema de Zorn es muy similar a esta prueba.

Ejemplos de

Ejemplo 1. Si A es cualquier colección de conjuntos, la relación "es un subconjunto propio de" es una orden parcial estricto en A . Suponga que A es la colección de todas las regiones circulares (interiores de círculos) en el plano. Una subcolección máxima totalmente ordenada de A consta de todas las regiones circulares con centros en el origen. Otra subcolección máxima totalmente ordenada consiste en todas las regiones circulares limitadas por círculos tangentes desde la derecha al eje y en el origen.

EJEMPLO 2. Si (x ₀ , y ₀ ) y (x ₁ , y ₁ ) son dos puntos del plano ℝ ² , defina (x ₀ , y ₀ ) <(x ₁ , y ₁ )

si y ₀ = y ₁ y x ₀ <x ₁ . Este es un ordenamiento parcial de ℝ ² bajo el cual dos puntos son comparables solo si se encuentran en la misma línea horizontal. Los conjuntos máximos totalmente ordenados son líneas horizontales en ℝ ² .

Referencias

• John Kelley (1955), topología general , Von Nostrand.
• Gregory Moore (1982), axioma de elección de Zermelo , Springer.
• James Munkres (2000), Topología , Pearson.