Teorema de Hartogs sobre holomorphicidad separada - Hartogs's theorem on separate holomorphicity

En matemáticas , el teorema de Hartogs es un resultado fundamental de Friedrich Hartogs en la teoría de varias variables complejas . En términos generales, establece que una función "analítica por separado" es continua. Más precisamente, si es una función que es analítica en cada variable z _i , 1 ≤ i ≤ n , mientras que las otras variables se mantienen constantes, entonces F es una función continua . ${\ Displaystyle F: {\ textbf {C}} ^ {n} \ to {\ textbf {C}}}$

Un corolario es que la función F es entonces de hecho una función analítica en el sentido de n- variables (es decir, que localmente tiene una expansión de Taylor ). Por tanto, "analiticidad separada" y "analiticidad" son nociones coincidentes, en la teoría de varias variables complejas.

Comenzando con la hipótesis adicional de que la función es continua (o acotada), el teorema es mucho más fácil de demostrar y en esta forma se conoce como lema de Osgood .

No existe un análogo de este teorema para las variables reales . Si asumimos que una función es diferenciable (o incluso analítica ) en cada variable por separado, no es cierto que necesariamente será continua. Un contraejemplo en dos dimensiones viene dado por ${\ Displaystyle f \ colon {\ textbf {R}} ^ {n} \ to {\ textbf {R}}}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Si además definimos , esta función tiene derivadas parciales bien definidas en y en el origen, pero no es continua en el origen. (De hecho, los límites a lo largo de las líneas y no son iguales, por lo que no hay forma de extender la definición de para incluir el origen y hacer que la función sea continua allí). ${\ Displaystyle f (0,0) = 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x = y}$${\ Displaystyle x = -y}$${\ Displaystyle f}$

Referencias

• Steven G. Krantz . Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

enlaces externos

• "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity

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