Medio entero - Half-integer

En matemáticas , un medio entero es un número de la forma

${\ Displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

donde es un número entero . Por ejemplo, ${\ Displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , ⁷ / ₂ , - + 13 / 2 , 8.5

son todos medio enteros . El nombre "medio entero" es quizás engañoso, ya que se puede malinterpretar el conjunto para incluir números como 1 (que es la mitad del entero 2). Un nombre como "entero más la mitad" puede ser más exacto, pero aunque no sea literalmente cierto, "medio entero" es el término convencional. Los medios enteros ocurren con suficiente frecuencia en matemáticas y en mecánica cuántica como para que sea conveniente un término distinto.

Tenga en cuenta que dividir por la mitad un número entero no siempre produce un medio entero; esto solo es cierto para los números enteros impares . Por esta razón, los semieros también se denominan a veces semientos impares . Los medios enteros son un subconjunto de los racionales diádicos (números producidos al dividir un número entero por una potencia de dos ).

Notación y estructura algebraica

El conjunto de todos los medios enteros a menudo se denota

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Los enteros y medios enteros juntos forman un grupo bajo la operación de suma, que se puede denotar

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Sin embargo, estos números no forman un anillo porque el producto de dos medios enteros a menudo no es un medio entero; p.ej ${\ Displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Usos

Embalaje de esfera

El empaquetamiento de celosía más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones (llamado celosía D ₄ ) coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas son todos enteros o todos medios enteros. Este empaquetamiento está estrechamente relacionado con los enteros de Hurwitz : cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos enteros o todos semientos.

Física

En física, el principio de exclusión de Pauli resulta de la definición de fermiones como partículas que tienen espines que son medio enteros.

Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico se producen en sem enteros y, por lo tanto, su energía más baja no es cero.

Volumen de la esfera

Aunque la función factorial se define solo para argumentos enteros, se puede extender a argumentos fraccionarios usando la función gamma . La función gamma para sem enteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola n- dimensional de radio R ,

${\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }$

Los valores de la función gamma en medios enteros son múltiplos enteros de la raíz cuadrada de pi :

${\ Displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) ~ = ~ {\ frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

donde n !! denota el doble factorial .

Referencias