Configuración (geometría) - Configuration (geometry)
En matemáticas , específicamente geometría proyectiva , una configuración en el plano consiste en un conjunto finito de puntos y una disposición finita de líneas , de modo que cada punto incide sobre el mismo número de rectas y cada recta incide sobre el mismo número de puntos. .
Aunque ciertas configuraciones específicas se habían estudiado antes (por ejemplo, por Thomas Kirkman en 1849), el estudio formal de las configuraciones fue introducido por primera vez por Theodor Reye en 1876, en la segunda edición de su libro Geometrie der Lage , en el contexto de una discusión de Teorema de Desargues . Ernst Steinitz escribió su disertación sobre el tema en 1894, y fueron popularizadas por el libro Anschauliche Geometrie de 1932 de Hilbert y Cohn-Vossen , reimpreso en inglés ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).
Las configuraciones se pueden estudiar como conjuntos concretos de puntos y líneas en una geometría específica, como los planos euclidianos o proyectivos (se dice que son realizables en esa geometría), o como un tipo de geometría de incidencia abstracta . En el último caso, están estrechamente relacionados con regulares hypergraphs y biregular gráficos bipartitos , pero con algunas restricciones adicionales: cada dos puntos de la estructura de incidencia se pueden asociar con a lo sumo una línea, y cada dos líneas se pueden asociar con a lo sumo un punto . Es decir, la circunferencia del gráfico bipartito correspondiente (el gráfico de Levi de la configuración) debe ser de al menos seis.
Notación
Una configuración en el plano se denota por ( p γ ℓ π ), donde p es el número de puntos, ℓ el número de líneas, γ el número de líneas por punto y π el número de puntos por línea. Estos números satisfacen necesariamente la ecuación
ya que este producto es el número de incidencias de líneas puntuales ( banderas ).
Las configuraciones que tienen el mismo símbolo, digamos ( p γ ℓ π ), no necesitan ser isomórficas como estructuras de incidencia . Por ejemplo, existen tres configuraciones diferentes (9 3 9 3 ): la configuración Pappus y dos configuraciones menos notables.
En algunas configuraciones, p = ℓ y, en consecuencia, γ = π . Estas se denominan configuraciones simétricas o equilibradas ( Grünbaum 2009 ) y la notación a menudo se condensa para evitar la repetición. Por ejemplo, (9 3 9 3 ) se abrevia como (9 3 ).
Ejemplos de
Las configuraciones proyectivas notables incluyen las siguientes:
- (1 1 ), la configuración más simple posible, que consiste en un punto incidente a una línea. A menudo excluido por ser trivial.
- (3 2 ), el triángulo . Cada uno de sus tres lados se encuentra con dos de sus tres vértices y viceversa. Más generalmente, cualquier polígono de n lados forma una configuración de tipo ( n 2 )
- (4 3 6 2 ) y (6 2 4 3 ), el cuadrilátero completo y el cuadrilátero completo respectivamente.
- (7 3 ), el avión Fano . Esta configuración existe como una geometría de incidencia abstracta , pero no se puede construir en el plano euclidiano .
- (8 3 ), la configuración de Möbius-Kantor . Esta configuración describe dos cuadriláteros que están inscritos y circunscritos simultáneamente entre sí. No se puede construir en geometría plana euclidiana, pero las ecuaciones que lo definen tienen soluciones no triviales en números complejos .
- (9 3 ), la configuración de Pappus .
- (9 4 12 3 ), la configuración de Hesse de nueve puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo y las doce líneas determinadas por pares de estos puntos. Esta configuración comparte con el plano de Fano la propiedad de que contiene cada línea que pasa por sus puntos; las configuraciones con esta propiedad se conocen como configuraciones de Sylvester-Gallai debido al teorema de Sylvester-Gallai que muestra que no se les pueden dar coordenadas de números reales ( Kelly 1986 ).
- (10 3 ), la configuración de Desargues .
- (12 4 16 3 ), la configuración Reye .
- (12 5 30 2 ), el doble seis de Schläfli , formado por 12 de las 27 líneas en una superficie cúbica
- (15 3 ), la configuración Cremona-Richmond , formada por las 15 líneas complementarias a un doble seis y sus 15 planos tangentes
- (16 6 ), la configuración de Kummer .
- (21 4 ), la configuración Grünbaum-Rigby .
- (27 3 ), la configuración gris
- (35 4 ), configuración de Danzer . Grünbaum (2008) , Boben, Gévay y Pisanski (2015)
- (60 15 ), la configuración de Klein .
Dualidad de configuraciones
El dual proyectivo de una configuración ( p γ ℓ π ) es una configuración ( ℓ π p γ ) en la que se intercambian los roles de "punto" y "línea". Por lo tanto, los tipos de configuraciones vienen en pares duales, excepto cuando se toman los resultados duales en una configuración isomórfica. Estas excepciones se denominan configuraciones auto-duales y en tales casos p = ℓ .
El número de ( n 3 ) configuraciones
El número de configuraciones no isomórficas de tipo ( n 3 ), comenzando en n = 7 , viene dado por la secuencia
Estos números cuentan las configuraciones como estructuras de incidencia abstractas, independientemente de la realizabilidad ( Betten, Brinkmann & Pisanski 2000 ). Como Gropp (1997) analiza, nueve de las diez (10 3 ) configuraciones, y todas las configuraciones (11 3 ) y (12 3 ), son realizables en el plano euclidiano, pero para cada n ≥ 16 hay al menos una configuración no realizable ( n 3 ). Gropp también señala un error de larga duración en esta secuencia: un artículo de 1895 intentó enumerar todas las (12 3 ) configuraciones y encontró 228 de ellas, pero la configuración 229 no se descubrió hasta 1988.
Construcciones de configuraciones simétricas
Existen varias técnicas para construir configuraciones, generalmente partiendo de configuraciones conocidas. Algunas de las técnicas más simples construyen configuraciones simétricas ( p γ ).
Cualquier plano proyectivo finito de orden n es una configuración (( n 2 + n + 1) n + 1 ) . Sea Π un plano proyectivo de orden n . Quite de Π un punto P y todas las líneas de Π que pasan por P (pero no los puntos que se encuentran en esas líneas excepto por P ) y elimine una línea ℓ que no pase por P y todos los puntos que están en la línea ℓ . El resultado es una configuración de tipo (( n 2 - 1) n ) . Si, en esta construcción, se elige la línea ℓ para que sea una línea que pase por P , entonces la construcción da como resultado una configuración de tipo (( n 2 ) n ) . Dado que se sabe que existen planos proyectivos para todos los órdenes n que son potencias de primos, estas construcciones proporcionan familias infinitas de configuraciones simétricas.
No todas las configuraciones son realizables, por ejemplo, una configuración (43 7 ) no existe. Sin embargo, Gropp (1990) ha proporcionado una construcción que muestra que para k ≥ 3 , existe una configuración ( p k ) para todo p ≥ 2 ℓ k + 1 , donde ℓ k es la longitud de una regla de Golomb óptima de orden k .
Configuraciones no convencionales
Mayores dimensiones
El concepto de configuración puede generalizarse a dimensiones superiores Gévay (2014) , por ejemplo a puntos y líneas o planos en el espacio . En tales casos, las restricciones de que dos puntos no pertenecen a más de una línea se pueden relajar, porque es posible que dos puntos pertenezcan a más de un plano.
Las configuraciones tridimensionales notables son la configuración de Möbius , que consta de dos tetraedros inscritos mutuamente, la configuración de Reye , que consta de doce puntos y doce planos, con seis puntos por plano y seis planos por punto, la configuración de Gray que consta de un 3 × 3 × 3 cuadrícula de 27 puntos y las 27 líneas ortogonales que las atraviesan, y el doble seis de Schläfli , una configuración con 30 puntos, 12 líneas, dos líneas por punto y cinco puntos por línea.
Configuraciones topológicas
La configuración en el plano proyectivo que se realiza mediante puntos y pseudolinas se denomina configuración topológica Grünbaum (2009) . Por ejemplo, se sabe que no existen configuraciones de línea de puntos (19 4 ), sin embargo, existe una configuración topológica con estos parámetros.
Configuraciones de puntos y círculos
Otra generalización del concepto de configuración se refiere a las configuraciones de puntos y círculos, siendo un ejemplo notable la (8 3 6 4 ) configuración de Miquel Grünbaum (2009) .
Ver también
- Configuración de Perles , un conjunto de 9 puntos y 9 líneas que no tienen el mismo número de incidencias entre sí
Notas
Referencias
- Berman, Leah W. , " Configuraciones móviles ( n 4 )" , The Electronic Journal of Combinatorics , 13 (1): R104.
- Betten, A; Brinkmann, G .; Pisanski, T. (2000), "Contando configuraciones simétricas", Matemáticas aplicadas discretas , 99 (1–3): 331–338, doi : 10.1016 / S0166-218X (99) 00143-2.
- Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015), "Revisión de la configuración de Danzer", Advances in Geometry , 15 (4): 393–408.
- Coxeter, HSM (1999), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", La belleza de la geometría , Dover, ISBN 0-486-40919-8
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
- Gévay, Gábor (2014), "Construcciones para configuraciones de líneas de puntos grandes (n k )", Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199.
- Gropp, Harald (1990), "Sobre la existencia y no existencia de configuraciones n k ", Journal of Combinatorics and Information System Science , 15 : 34-48
- Gropp, Harald (1997), "Configuraciones y su realización", Matemáticas discretas , 174 (1-3): 137-151, doi : 10.1016 / S0012-365X (96) 00327-5.
- Grünbaum, Branko (2006), "Configuraciones de puntos y líneas", en Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections , American Mathematical Society, págs. 179–225.
- Grünbaum, Branko (2008), "Reflexionando sobre un ejemplo de Danzer", European Journal of Combinatorics , 29 : 1910-1918.
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- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Chelsea, págs. 94-170, ISBN 0-8284-1087-9.
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- Pisanski, Tomaž ; Servatius, Brigitte (2013), Configuraciones desde un punto de vista gráfico , Springer, ISBN 9780817683641.