Grupo Cremona - Cremona group

En geometría algebraica , el grupo de Cremona , introducido por Cremona  ( 1863 , 1865 ), es el grupo de automorfismos biracionales del espacio proyectivo -dimensional sobre un campo . Se denota por o o . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle Cr (\ mathbb {P} ^ {n} (k))}$${\ Displaystyle Bir (\ mathbb {P} ^ {n} (k))}$${\ Displaystyle Cr_ {n} (k)}$

El grupo de Cremona se identifica naturalmente con el grupo de automorfismos del campo de las funciones racionales en sobre indeterminado , es decir, una extensión trascendental pura de , con grado de trascendencia . ${\ Displaystyle \ mathrm {Aut} _ {k} (k (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$

El grupo de orden lineal general proyectivo , de transformaciones proyectivas , está contenido en el grupo de orden de Cremona . Los dos son iguales solo cuando o , en cuyo caso tanto el numerador como el denominador de una transformación deben ser lineales. ${\ Displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle n = 1}$

El grupo Cremona en 2 dimensiones

En dos dimensiones, Max Noether y Castelnuovo demostraron que el grupo de Cremona complejo es generado por la transformación cuadrática estándar, junto con , aunque hubo cierta controversia acerca de si sus demostraciones eran correctas, y Gizatullin (1983) dio un conjunto completo de relaciones para estas generadores. La estructura de este grupo aún no se comprende bien, aunque se ha trabajado mucho para encontrar elementos o subgrupos del mismo. ${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} (3, k)}$

• Cantat y Lamy (2010) demostraron que el grupo de Cremona no es simple como grupo abstracto;
• Blanc demostró que no tiene subgrupos normales no triviales que también estén cerrados en una topología natural.
• Para los subgrupos finitos del grupo de Cremona, ver Dolgachev & Iskovskikh (2009) .

El grupo Cremona en dimensiones superiores

Se sabe poco acerca de la estructura del grupo Cremona en tres dimensiones y más, aunque se han descrito muchos elementos del mismo. Blanc (2010) mostró que está (linealmente) conectado, respondiendo a una pregunta de Serre (2010) . No hay un análogo fácil del teorema de Noether-Castelnouvo, ya que Hudson (1927) mostró que el grupo de Cremona en la dimensión al menos 3 no es generado por sus elementos de grado acotados por ningún entero fijo.

Grupos de De Jonquières

Un grupo de De Jonquières es un subgrupo de un grupo de Cremona de la siguiente forma. Elija una base de trascendencia para una extensión de campo de . Entonces, un grupo de De Jonquières es el subgrupo de automorfismos de mapear el subcampo en sí mismo para algunos . Tiene un subgrupo normal dado por el grupo de automorfismos de Cremona de sobre el campo , y el grupo del cociente es el grupo de Cremona de sobre el campo . También se puede considerar como el grupo de automorfismos biracionales del haz de fibras . ${\ Displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$${\ Displaystyle r \ leq n}$${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$${\ Displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r} \ times \ mathbb {P} ^ {nr} \ to \ mathbb {P} ^ {r}}$

Cuando y el grupo De Jonquières es el grupo de transformaciones de Cremona que fija un lápiz de líneas a través de un punto dado, y es el producto semidirecto de y . ${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle r = 1}$${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} _ {2} (k)}$${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} _ {2} (k (t))}$

Referencias

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