Teorema del factor - Factor theorem

En álgebra , el teorema del factor es un teorema que une factores y ceros de un polinomio . Es un caso especial del teorema del residuo polinomial .

El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y solo si ( es decir, es una raíz). ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle (xk)}$ ${\ Displaystyle f (k) = 0}$${\ Displaystyle k}$

Factorización de polinomios

Dos problemas en los que se aplica comúnmente el teorema del factor son los de factorizar un polinomio y encontrar las raíces de una ecuación polinomial; es una consecuencia directa del teorema de que estos problemas son esencialmente equivalentes.

El teorema del factor también se utiliza para eliminar los ceros conocidos de un polinomio y dejar intactos todos los ceros desconocidos, lo que produce un polinomio de menor grado cuyos ceros pueden ser más fáciles de encontrar. De manera abstracta, el método es el siguiente:

1. "Adivina" un cero del polinomio . (En general, esto puede ser muy difícil , pero los problemas de libros de texto de matemáticas que implican la resolución de una ecuación polinomial a menudo están diseñados para que algunas raíces sean fáciles de descubrir).${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle f}$
2. Usa el teorema del factor para concluir que es un factor de .${\ Displaystyle (xa)}$${\ Displaystyle f (x)}$
3. Calcule el polinomio , por ejemplo, utilizando la división polinomial larga o la división sintética .${\ textstyle g (x) = {\ frac {f (x)} {(xa)}}}$
4. Concluya que cualquier raíz de es una raíz de . Dado que el grado del polinomio de es uno menos que el de , es "más sencillo" encontrar los ceros restantes mediante el estudio .${\ Displaystyle x \ neq a}$${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle g (x) = 0}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$

Ejemplo

Encuentra los factores de

${\ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$

Para hacer esto, se usaría prueba y error (o el teorema de la raíz racional ) para encontrar el primer valor de x que hace que la expresión sea igual a cero. Para averiguar si es un factor, sustituya en el polinomio anterior: ${\ Displaystyle (x-1)}$${\ Displaystyle x = 1}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2 & = (1) ^ {3} +7 (1) ^ {2} +8 (1) +2 \\ & = 1 + 7 + 8 + 2 \\ & = 18 \ end {alineado}}}$

Como esto es igual a 18 y no a 0, esto significa que no es un factor de . Entonces, lo siguiente que intentamos (sustituyendo en el polinomio): ${\ Displaystyle (x-1)}$${\ Displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2}$${\ Displaystyle (x + 1)}$${\ Displaystyle x = -1}$

${\ displaystyle (-1) ^ {3} +7 (-1) ^ {2} +8 (-1) +2.}$

Esto es igual a . Por tanto , es decir , es un factor, y es una raíz de${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle x - (- 1)}$${\ Displaystyle x + 1}$${\ Displaystyle -1}$${\ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$

Los próximos dos raíces se pueden encontrar en forma algebraica dividir por obtener una ecuación cuadrática: ${\ Displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2}$${\ Displaystyle (x + 1)}$

${\ Displaystyle {x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2 \ over x + 1} = x ^ {2} + 6x + 2,}$

y por lo tanto y son factores de De estos, el factor cuadrático se puede factorizar aún más usando la fórmula cuadrática , que da como raíces de la cuadrática Por lo tanto, los tres factores irreducibles del polinomio original son y${\ Displaystyle (x + 1)}$${\ Displaystyle x ^ {2} + 6x + 2}$${\ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} + 8x + 2.}$${\ Displaystyle -3 \ pm {\ sqrt {7}}.}$${\ Displaystyle x + 1,}$ ${\ Displaystyle x - (- 3 + {\ sqrt {7}}),}$${\ Displaystyle x - (- 3 - {\ sqrt {7}}).}$

Referencias