Punto extremo - Extreme point

Para otros usos, consulte Punto extremo (desambiguación) .
Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo.

En matemáticas , un punto extremo de un conjunto convexo S en un verdadero espacio de vector es un punto en S que no está en cualquier abierto segmento de línea que une dos puntos de S . En programación lineal problemas, un punto extremo también se llama vértice o punto de esquina S .

Definición

En todo momento, se supone que S es un espacio vectorial real o complejo .

Para cualquier x , x 1 , x 2 ∈ S , digamos que x se encuentra entre x 1 y x 2 si x 1 ≠ x 2 y existe un 0 < t <1 tal que x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Si K es un subconjunto de S y x ∈ K , entonces x es llamado un punto extremo de K si no se encuentra entre dos distintos puntos de K . Es decir, si no existe x 1 , x 2 ∈ K y 0 < t <1 tal que x 1 ≠ x 2 y x = tx 1 + (1 - t ) x 2 . El conjunto de todos los puntos extremos de K se denota por extremo ( K ) .

Caracterizaciones

El punto medio de dos elementos de x y y en un espacio de vector es el vector 1/2( x + y ) .

Para cualquier elemento de x y y en un espacio de vector, el conjunto [ x , Y ]: = { tx + (1 - t ) y  : 0 ≤ t ≤ 1 } se llama el segmento de línea cerrada o intervalo cerrado entre x y y . El segmento de línea abierta o intervalo abierto entre x y y es ( x , x ): = ∅ cuando x = y mientras que es ( x , Y ): = { tx + (1 - t ) y  : 0 < t <1 } cuando x ≠ y . Los puntos x y y son llamados los puntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo no es degenerado o adecuado si sus puntos finales son distintos. El punto medio de un intervalo es el punto medio de sus puntos finales.

Tenga en cuenta que [ x , y ] es igual a la envolvente convexa de { x , Y } por lo que si K es convexa y x , y ∈ K , a continuación, [ x , y ] ⊆ K .

Si K es un subconjunto no vacío de X y F es un subconjunto no vacío de K , entonces F se llama una cara de K si cada vez que un punto p ∈ F se encuentra entre dos puntos de K , entonces esos dos puntos pertenecen necesariamente a F .

Teorema  -  Let K un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial X y dejar que p ∈ K . Entonces los siguientes son equivalentes:

  1. p es un punto extremo de K ;
  2. K ∖ { p } es convexo;
  3. p no es el punto medio de un segmento de línea no degenerado contenido en K ;
  4. para cualquier x , y ∈ K , si p ∈ [ x , y ] entonces x = p o y = p ;
  5. si x ∈ X es tal que tanto p + x como p - x pertenecen a K , entonces x = 0 ;
  6. { P } es una cara de K .

Ejemplos de

  • Si un < b son dos números reales entonces un y b son puntos extremos del intervalo [ a , b ] . Sin embargo, el intervalo abierto ( a , b ) no tiene puntos extremos.
  • Un mapa lineal inyectivo F  : X → Y envía los puntos extremos de un conjunto convexo C ⊆ X a los puntos extremos del conjunto convexo F ( C ) . Esto también es cierto para los mapas afines inyectivos.
  • El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono.
  • Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano ℝ 2 son los puntos extremos de ese polígono.
  • Los puntos extremos del disco unitario cerrado en ℝ 2 es el círculo unitario .
  • Cualquier intervalo abierto en ℝ no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo cerrado no degenerado que no sea igual a ℝ sí tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensión finita ℝ n no tiene puntos extremos.

Propiedades

Los puntos extremos de un convexa compactos forman un espacio de Baire (con la topología del subespacio), pero este conjunto pueden fallar a ser cerrado en X .

Teoremas

Teorema de Kerin-Milman

El teorema de Kerin-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre los puntos extremos.

Teorema de Kerin-Milman  :  si S es convexo y compacto en un espacio localmente convexo , entonces S es el casco convexo cerradode sus puntos extremos: en particular, tal conjunto tiene puntos extremos.

Para espacios Banach

Estos teoremas son para espacios de Banach con la propiedad Radon-Nikodym .

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo. (En espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de estar cerrado y limitado).

Teorema  ( Gerald Edgar )  -  Let E un espacio de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym, vamos a C sea un separables, cerrado, acotado, convexa subconjunto de E , y dejar que un ser en un punto C . Entonces hay una medida de probabilidad p en los conjuntos mensurables universalmente en C tal que a es el baricentro de p , y el conjunto de puntos extremos de C tiene p -medida 1.

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

k -puntos extremos

Más en general, un punto en un conjunto convexo S es k -extreme si se encuentra en el interior de un k -dimensional convexa establecer dentro de S , pero no una k + 1 conjunto convexo -dimensional dentro S . Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo 0. Si S es un politopo, entonces el k puntos -extreme son exactamente los puntos interiores de los k caras -dimensional de S . De manera más general, para cualquier conjunto convexo S , los k puntos extremos se dividen en k caras abiertas dimensionales.

El teorema de Kerin-Milman de dimensión finita, que se debe a Minkowski, puede demostrarse rápidamente utilizando el concepto de k -puntos extremos. Si S es cerrado, acotado y n- dimensional, y si p es un punto en S , entonces p es k -extremo para algunos k < n . El teorema afirma que p es una combinación convexa de puntos extremos. Si k = 0, entonces es trivialmente cierto. De lo contrario, p se encuentra en un segmento de línea en S que se puede extender al máximo (porque S es cerrado y acotado). Si los puntos extremos del segmento son q y r , entonces su rango extrema debe ser menor que la de p , y el teorema sigue por inducción.

Ver también

Citas

Bibliografía