Coordenadas cilíndricas elípticas - Elliptic cylindrical coordinates

Coordenadas de superficies de coordenadas cilíndricas elípticas. La hoja amarilla es el prisma de una media hipérbola correspondiente a ν = -45 °, mientras que el tubo rojo es un prisma elíptico correspondiente a μ = 1. La hoja azul corresponde a z = 1. Las tres superficies se cruzan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (2.182, -1.661, 1.0). Los focos de la elipse y la hipérbola se encuentran en x = ± 2,0.

Las coordenadas cilíndricas elípticas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de proyectar el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales en la dirección perpendicular . Por tanto, las superficies coordinadas son prismas de elipses e hipérbolas confocales . Los dos focos y generalmente se consideran fijos en y , respectivamente, en el eje-del sistema de coordenadas cartesianas . ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle F_ {1}}$${\ Displaystyle F_ {2}}$${\ Displaystyle -a}$${\ Displaystyle + a}$${\ Displaystyle x}$

Definición básica

La definición más común de coordenadas cilíndricas elípticas es ${\ Displaystyle (\ mu, \ nu, z)}$

${\ Displaystyle x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu}$

${\ Displaystyle y = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu}$

${\ Displaystyle z = z}$

donde es un número real no negativo y . ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu \ en [0,2 \ pi]}$

Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica

${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sinh ^ { 2} \ mu}} = \ cos ^ {2} \ nu + \ sin ^ {2} \ nu = 1}$

muestra que las curvas de forma constante elipses , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica ${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ nu}} - {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sin ^ { 2} \ nu}} = \ cosh ^ {2} \ mu - \ sinh ^ {2} \ mu = 1}$

muestra que las curvas de forma constante hipérbolas . ${\ Displaystyle \ nu}$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas elípticas y son iguales ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}}}$

mientras que el factor de escala restante . En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a ${\ Displaystyle h_ {z} = 1}$

${\ Displaystyle dV = a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu dz}$

y el laplaciano es igual

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ nu ^ {2}} } \ derecha) + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial z ^ {2}}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle (\ mu, \ nu, z)}$

Definición alternativa

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas , donde y . Por tanto, las curvas de constante son elipses, mientras que las curvas de constante son hipérbolas. La coordenada debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que la coordenada debe ser mayor o igual a uno. ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, z)}$${\ Displaystyle \ sigma = \ cosh \ mu}$${\ Displaystyle \ tau = \ cos \ nu}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto en el plano (x, y), la suma de sus distancias a los focos es igual , mientras que su diferencia es igual . Por tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recuerde que y están ubicados en y , respectivamente). ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, z)}$${\ Displaystyle F_ {1}}$${\ Displaystyle F_ {2}}$ ${\ Displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$${\ Displaystyle 2a \ sigma}$ ${\ Displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$${\ Displaystyle 2a \ tau}$${\ Displaystyle F_ {1}}$${\ Displaystyle a (\ sigma + \ tau)}$${\ Displaystyle F_ {2}}$${\ Displaystyle a (\ sigma - \ tau)}$${\ Displaystyle F_ {1}}$${\ Displaystyle F_ {2}}$${\ Displaystyle x = -a}$${\ Displaystyle x = + a}$

Un inconveniente de estas coordenadas es que no tienen una transformación de 1 a 1 a las coordenadas cartesianas.

${\ Displaystyle x = a \ sigma \ tau}$

${\ Displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}$

Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas son ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, z)}$

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2} -1}}}}$

${\ Displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {1- \ tau ^ {2}}}}}$

y, por supuesto, . Por tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en ${\ Displaystyle h_ {z} = 1}$

${\ Displaystyle dV = a ^ {2} {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sqrt {\ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1 - \ tau ^ {2} \ right)}}} d \ sigma d \ tau dz}$

y el laplaciano es igual

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ right)}} \ left [{\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ sigma}} \ left ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial \ sigma}} \ derecha) + {\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ tau}} \ izquierda ({\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial \ tau}} \ derecha) \ derecha] + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial z ^ { 2}}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau)}$

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas elípticas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas cilíndricas elípticas permiten una separación de variables . Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana de ancho . ${\ Displaystyle 2a}$

La ecuación de onda tridimensional , cuando se expresa en coordenadas cilíndricas elípticas, puede resolverse mediante la separación de variables, lo que conduce a las ecuaciones diferenciales de Mathieu .

Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden resultar útiles. Un ejemplo típico podría involucrar una integración sobre todos los pares de vectores y esa suma a un vector fijo , donde el integrando es una función de las longitudes del vector y . (En tal caso un, uno podría colocar entre los dos focos y alineado con el eje x, es decir, .) Para ser concretos, , y podría representar los impulsos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría implicar la cinética energías de los productos (que son proporcionales a las longitudes cuadradas de los momentos). ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {p} + \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ left | \ mathbf {p} \ right |}$${\ Displaystyle \ left | \ mathbf {q} \ right |}$${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = 2a \ mathbf {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$

Bibliografía

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• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 179. LCCN   59014456 . ASIN B0000CKZX7.
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enlaces externos

• MathWorld descripción de coordenadas cilíndricas elípticas