Métrica de Sitter-Schwarzschild - de Sitter–Schwarzschild metric

En relatividad general , la solución de De Sitter-Schwarzschild describe un agujero negro en un parche causal del espacio de De Sitter . A diferencia de un agujero negro de espacio plano, existe un agujero negro de De Sitter más grande posible, que es el espacio-tiempo Nariai . El límite de Nariai no tiene singularidades , los horizontes cosmológico y de agujero negro tienen la misma área y pueden mapearse entre sí mediante una simetría de reflexión discreta en cualquier parche causal.

Introducción

En la relatividad general, el espacio-tiempo puede tener horizontes de eventos de agujero negro y también horizontes cosmológicos . La solución de De Sitter-Schwarzschild es la solución más simple que tiene ambos.

Métrico

La métrica de cualquier solución esféricamente simétrica en forma de Schwarzschild es:

${\ displaystyle ds ^ {2} = - f (r) dt ^ {2} + {dr ^ {2} \ over f (r)} + ​​r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}) \,}$

Las ecuaciones de Einstein al vacío dan una ecuación lineal para ƒ ( r ), que tiene como soluciones:

${\ Displaystyle f (r) = 1-2a / r \,}$

${\ Displaystyle f (r) = 1-br ^ {2} \,}$

La primera es una solución de energía de estrés cero que describe un agujero negro en el espacio tiempo vacío, el segundo (con b positivo) describe el espacio de De Sitter con una energía de estrés de una constante cosmológica positiva de magnitud 3 b . La superposición de las dos soluciones da la solución de Sitter-Schwarzschild:

${\ Displaystyle f (r) = 1 - {\ frac {2a} {r}} - br ^ {2} \,}$

Los dos parámetros a y b dan la masa del agujero negro y la constante cosmológica respectivamente. En las  dimensiones d + 1, la caída de la ley de potencia inversa en la parte del agujero negro es d  - 2. En las dimensiones 2 + 1, donde el exponente es cero, la solución análoga comienza con 2 + 1 espacio de Sitter, corta una cuña, y pega los dos lados de la cuña para formar un espacio cónico .

La ecuación geodésica

${\ Displaystyle g_ {aj} {\ ddot {x}} ^ {j} + \ izquierda (\ parcial _ {i} g_ {aj} - {\ frac {1} {2}} \ parcial _ {a} g_ {ij} \ right) {\ dot {x}} ^ {j} {\ dot {x}} ^ {i} = 0 \,}$

da

${\ Displaystyle {\ ddot {r}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {-f '(r)} {f (r)}} {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} f (r) f '(r) {\ dot {t}} ^ {2} -rf (r) {\ dot {\ theta}} - rf (r) { \ text {sin}} ^ {2} \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2} = 0}$

para el radial, y

${\ Displaystyle {\ ddot {t}} + {\ frac {1} {f (r)}} f '(r) {\ dot {t}} {\ dot {r}} = 0}$

para el componente de tiempo.

Propiedades del horizonte

El espacio de De Sitter es la solución más simple de la ecuación de Einstein con una constante cosmológica positiva . Es esféricamente simétrico y tiene un horizonte cosmológico que rodea a cualquier observador, y describe un universo que se infla . La solución de Schwarzschild es la solución esféricamente simétrica más simple de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica cero, y describe un horizonte de sucesos de agujero negro en un espacio vacío. El espacio-tiempo de De Sitter-Schwarzschild es una combinación de los dos y describe un horizonte de agujero negro centrado esféricamente en un universo de De Sitter. Un observador que no ha caído en el agujero negro, y que todavía puede ver el agujero negro a pesar de la inflación, se encuentra entre los dos horizontes.

Una pregunta natural que se debe hacer es si los dos horizontes son tipos diferentes de objetos o si son fundamentalmente lo mismo. Clásicamente, los dos tipos de horizonte se ven diferentes. Un horizonte de agujero negro es un horizonte futuro , las cosas pueden entrar, pero no salir. El horizonte cosmológico en una cosmología tipo Big Bang es un horizonte pasado , las cosas salen, pero no entra nada.

Pero en un tratamiento semiclásico, se puede pensar que el horizonte cosmológico de De Sitter absorbe o emite según el punto de vista. De manera similar, para un agujero negro que ha existido durante mucho tiempo, se puede pensar que el horizonte emite o absorbe dependiendo de si se toma el punto de vista de la materia que cae o la radiación de Hawking saliente . Hawking argumentó basándose en la termodinámica que el horizonte pasado de un agujero blanco es, de hecho, físicamente el mismo que el horizonte futuro de un agujero negro , por lo que los horizontes pasado y futuro son físicamente idénticos. Esto fue elaborado por Susskind en la complementariedad del agujero negro , que establece que cualquier parte interior de la solución de un agujero negro, ya sea en la interpretación del horizonte pasado y futuro, puede relacionarse holográficamente mediante un cambio unitario de base a la descripción mecánica cuántica del horizonte mismo. .

La solución de Nariai es el límite del agujero negro más grande en un espacio que es de Sitter a grandes distancias, tiene dos horizontes, el horizonte cosmológico de Sitter y un horizonte de agujero negro de Schwarzschild. Para los agujeros negros de masa pequeña, los dos son muy diferentes: hay una singularidad en el centro del agujero negro y no hay ninguna singularidad más allá del horizonte cosmológico. Pero el límite de Nariai considera hacer el agujero negro cada vez más grande, hasta que su horizonte de eventos tenga la misma área que el horizonte cosmológico de De Sitter. En este punto, el espacio-tiempo se vuelve regular, la singularidad del agujero negro se extiende hasta el infinito y los dos horizontes están relacionados por una simetría espacio-temporal.

En el límite de Nariai, el agujero negro y el horizonte de De Sitter pueden intercambiarse simplemente cambiando el signo de la coordenada z. Cuando hay densidad de materia adicional, se puede pensar en la solución como un universo esférico de Einstein con dos agujeros negros antípodas. Cualquier agujero negro que se haga más grande se convierte en el horizonte cosmológico.

Solución Nariai

Comenzando con de Sitter – Schwarzschild:

${\ displaystyle ds ^ {2} = - f (r) \, dt ^ {2} + {dr ^ {2} \ over f (r)} + ​​r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2}) \,}$

con

${\ Displaystyle f (r) = 1- {2a \ over r} -br ^ {2} \,}$

Los dos parámetros a y b dan la masa del agujero negro y la constante cosmológica respectivamente. En dimensiones más altas, la ley de potencia para la parte del agujero negro es más rápida.

Cuando una es pequeña, ƒ ( r ) tiene dos ceros en valores positivos de r , que son la ubicación del agujero negro y el horizonte cosmológico respectivamente. A medida que aumenta el parámetro a , manteniendo fija la constante cosmológica, los dos ceros positivos se acercan. Con algún valor de a , chocan.

Al acercarse a este valor de a , el agujero negro y los horizontes cosmológicos tienen casi el mismo valor de r . Pero la distancia entre ellos no va a cero, ya que ƒ ( r ) es muy pequeña entre los dos ceros, y la raíz cuadrada de sus recíprocas integra a un valor finito. Si los dos ceros de ƒ están en R  +  ε y R  - ε, tomando el límite pequeño de ε mientras se cambia la escala de r para eliminar la dependencia de ε, se obtiene la solución Nariai.

La forma de f cerca del casi doble cero en términos de la nueva coordenada u dada por r  =  R  +  u es:

${\ Displaystyle f (r) = {u ^ {2} - \ epsilon ^ {2} \ over R ^ {2}} \,}$

La métrica del parche causal entre los dos horizontes se reduce a

${\ Displaystyle ds ^ {2} = - (R ^ {2} -z ^ {2}) \, dt ^ {2} + {dz ^ {2} \ over (R ^ {2} -z ^ {2 })} + R ^ {2} \, d \ Omega ^ {2} \,}$

que es la métrica de . Esta forma es local para un observador intercalado entre el agujero negro y el horizonte cosmológico, que revelan su presencia como los dos horizontes en z  = - R y z  =  R respectivamente. ${\ Displaystyle dS_ {2} \ times S_ {2}}$

La coordenada z se puede reemplazar por una coordenada global para la parte del espacio de Sitter de 1 + 1 dimensión, y luego la métrica se puede escribir como:

${\ Displaystyle dS ^ {2} = - dt ^ {2} + \ cosh ^ {2} t \, dx ^ {2} + R ^ {2} \, d \ Omega ^ {2} \,}$

En estas coordenadas globales, la isotropía del espacio de De Sitter hace cambios de las isometrías de las coordenadas x , de modo que es posible identificar x con x  +  A , y convertir la dimensión espacial en un círculo. El radio de tiempo constante del círculo se expande exponencialmente hacia el futuro y el pasado, y esta es la forma original de Nariai.

Al girar uno de los horizontes en el espacio Nariai, el otro horizonte gira en el sentido opuesto. Esta es una manifestación del principio de Mach en parches causales autónomos, si el horizonte cosmológico se incluye como "materia", como su contraparte simétrica, el agujero negro.

Temperatura de Hawking

La temperatura del horizonte pequeño y grande en De Sitter-Schwarzschild se puede calcular como el período en el tiempo imaginario de la solución, o de manera equivalente, como la gravedad de la superficie cerca del horizonte. La temperatura del agujero negro más pequeño es relativamente mayor, por lo que hay un flujo de calor desde el horizonte más pequeño al más grande. La cantidad que es la temperatura del agujero negro es difícil de definir, porque no hay un espacio asintóticamente plano para medirlo.

Curvatura

Los componentes distintos de cero del tensor de curvatura de Ricci para la métrica de De Sitter-Schwarzschild son

${\ Displaystyle R_ {tt} = {\ frac {1} {2}} f (r) \ left (2 {\ frac {f '(r)} {r}} + f' '(r) \ right) \,}$

${\ Displaystyle R_ {rr} = - {\ frac {2f '(r) + rf' '(r)} {2rf (r)}} \,}$

${\ Displaystyle R _ {\ theta \ theta} = 1-f (r) -rf '(r) \,}$

${\ Displaystyle R _ {\ phi \ phi} = - \ sin ^ {2} (\ theta) \ left (-1 + f (r) + rf '(r) \ right) \,}$

y el escalar de curvatura de Ricci

${\ Displaystyle R = {\ frac {2-2f (r) -4rf '(r) -r ^ {2} f' '(r)} {r ^ {2}}} \,}$

Ver también

• espacio de Sitter
• Espacio anti-de Sitter
• Universo de Sitter
• Correspondencia AdS / CFT

Referencias