Curva de De Rham - De Rham curve

En matemáticas , una curva de Rham es un cierto tipo de curva fractal nombrada en honor a Georges de Rham .

La función de Cantor , la curva Cesàro, la función de signo de interrogación de Minkowski , la curva de Lévy C , la curva de manjar blanco de la curva de Koch y la curva de Osgood son todos los casos especiales del general de Rham curva.

Construcción

Considere un espacio métrico completo (generalmente ² con la distancia euclidiana habitual) y un par de mapas de contracción en M: ${\ Displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle d_ {0}: \ M \ a M}$

${\ Displaystyle d_ {1}: \ M \ a M.}$

Según el teorema del punto fijo de Banach , estos tienen puntos fijos y respectivamente. Sea x un número real en el intervalo , con expansión binaria ${\ Displaystyle p_ {0}}$${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle [0,1]}$

${\ Displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {b_ {k}} {2 ^ {k}}},}$

donde cada uno es 0 o 1. Considere el mapa ${\ Displaystyle b_ {k}}$

${\ Displaystyle c_ {x}: \ M \ a M}$

definido por

${\ Displaystyle c_ {x} = d_ {b_ {1}} \ circ d_ {b_ {2}} \ circ \ cdots \ circ d_ {b_ {k}} \ circ \ cdots,}$

donde denota la composición de la función . Se puede demostrar que cada uno mapeará la cuenca común de atracción de y hacia un solo punto en . La colección de puntos , parametrizada por un único parámetro real x , se conoce como curva de Rham. ${\ Displaystyle \ circ}$${\ Displaystyle c_ {x}}$${\ Displaystyle d_ {0}}$${\ Displaystyle d_ {1}}$${\ Displaystyle p_ {x}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle p_ {x}}$

Condición de continuidad

Cuando los puntos fijos se emparejan de manera que

${\ Displaystyle d_ {0} (p_ {1}) = d_ {1} (p_ {0})}$

entonces se puede demostrar que la curva resultante es una función continua de x . Cuando la curva es continua, en general no es diferenciable. ${\ Displaystyle p_ {x}}$

En el resto de esta página, asumiremos que las curvas son continuas.

Propiedades

Las curvas de De Rham son por construcción auto-similares, ya que

${\ Displaystyle p (x) = d_ {0} (p (2x))}$ para y ${\ Displaystyle x \ in [0,1 / 2]}$

${\ Displaystyle p (x) = d_ {1} (p (2x-1))}$ para ${\ Displaystyle x \ in [1 / 2,1].}$

Las auto-simetrías de todas las curvas de De Rham vienen dadas por el monoide que describe las simetrías del árbol binario infinito o conjunto de Cantor . Este llamado monoide que duplica el período es un subconjunto del grupo modular .

La imagen de la curva, es decir, el conjunto de puntos , se puede obtener mediante un sistema de funciones iteradas utilizando el conjunto de asignaciones de contracciones . Pero el resultado de un sistema de funciones iteradas con dos mapeos de contracción es una curva de Rham si y solo si los mapeos de contracción satisfacen la condición de continuidad. ${\ Displaystyle \ {p (x), x \ en [0,1] \}}$${\ Displaystyle \ {d_ {0}, \ d_ {1} \}}$

Se pueden encontrar ejemplos detallados y elaborados de las auto-semejanzas en los artículos sobre la función de Cantor y sobre la función del signo de interrogación de Minkowski . Precisamente el mismo monoide de auto-semejanzas, el monoide diádico , se aplica a cada curva de De Rham.

Clasificación y ejemplos

Curvas Cesàro

Las curvas Cesàro (o curvas Cesàro-Faber ) son curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que conservan la orientación , con puntos fijos y . ${\ Displaystyle p_ {0} = 0}$${\ Displaystyle p_ {1} = 1}$

Debido a estas limitaciones, las curvas de Cesàro están determinadas unívocamente por un número complejo tal que y . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle | a | <1}$${\ Displaystyle | 1-a | <1}$

Las asignaciones de contracción y luego se definen como funciones complejas en el plano complejo por: ${\ Displaystyle d_ {0}}$${\ Displaystyle d_ {1}}$

${\ Displaystyle d_ {0} (z) = az}$

${\ Displaystyle d_ {1} (z) = a + (1-a) z.}$

Para el valor de , la curva resultante es la curva C de Lévy . ${\ Displaystyle a = (1 + i) / 2}$

Curvas de Koch-Peano

De manera similar, podemos definir la familia de curvas Koch-Peano como el conjunto de curvas de De Rham generadas por transformaciones afines que invierten la orientación, con puntos fijos y . ${\ Displaystyle p_ {0} = 0}$${\ Displaystyle p_ {1} = 1}$

Estas asignaciones se expresan en el plano complejo como una función de , el complejo conjugado de : ${\ Displaystyle {\ overline {z}}}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle d_ {0} (z) = a {\ overline {z}}}$

${\ Displaystyle d_ {1} (z) = a + (1-a) {\ overline {z}}.}$

El nombre de la familia proviene de sus dos miembros más famosos. La curva de Koch se obtiene configurando:

${\ Displaystyle a _ {\ text {Koch}} = {\ frac {1} {2}} + i {\ frac {\ sqrt {3}} {6}},}$

mientras que la curva de Peano corresponde a:

${\ Displaystyle a _ {\ text {Peano}} = {\ frac {(1 + i)} {2}}.}$

Mapas afines generales

Las curvas Cesàro-Faber y Peano-Koch son ambos casos especiales del caso general de un par de transformaciones lineales afines en el plano complejo. Al fijar un punto final de la curva en 0 y el otro en uno, el caso general se obtiene iterando sobre las dos transformadas

${\ displaystyle d_ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ alpha & \ delta \\ 0 & \ beta & \ varepsilon \ end {pmatrix}}}$

y

${\ displaystyle d_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ alpha & 1- \ alpha & \ zeta \\\ beta & - \ beta & \ eta \ end {pmatrix}}.}$

Al ser transformadas afines , estas transformadas actúan sobre un punto del plano 2-D actuando sobre el vector ${\ Displaystyle (u, v)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ u \\ v \ end {pmatrix}}.}$

Se puede ver que el punto medio de la curva está ubicado en ; los otros cuatro parámetros pueden variarse para crear una gran variedad de curvas. ${\ Displaystyle (u, v) = (\ alpha, \ beta)}$

La curva de mange blanco del parámetro se puede obtener configurando , y . Es decir: ${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle \ alpha = \ beta = 1/2}$${\ Displaystyle \ delta = \ zeta = 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon = \ eta = w}$

${\ displaystyle d_ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & w \ end {pmatrix}}}$

y

${\ displaystyle d_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & -1 / 2 & w \ end {pmatrix}}.}$

Dado que la curva de mange blanco del parámetro es la parábola de la ecuación , esto ilustra el hecho de que, en alguna ocasión, las curvas de De Rham pueden ser suaves. ${\ Displaystyle w = 1/4}$${\ Displaystyle f (x) = 4x (1-x)}$

Función de signo de interrogación de Minkowski

La función de signo de interrogación de Minkowski es generada por el par de mapas

${\ Displaystyle d_ {0} (z) = {\ frac {z} {z + 1}}}$

y

${\ Displaystyle d_ {1} (z) = {\ frac {1} {z + 1}}.}$

Generalizaciones

Es fácil generalizar la definición utilizando más de dos mapeos de contracción. Si se utilizan n mapeos, entonces se debe utilizar la descomposición n -aria de x en lugar de la expansión binaria de números reales . La condición de continuidad debe generalizarse en:

${\ Displaystyle d_ {i} (p_ {n-1}) = d_ {i + 1} (p_ {0})}$ , para ${\ Displaystyle i = 0 \ ldots n-2.}$

Esta condición de continuidad se puede entender con el siguiente ejemplo. Suponga que on está funcionando en base 10. Entonces uno tiene (famoso) que 0.999 ... = 1.000 ... que es una ecuación de continuidad que debe aplicarse en cada uno de esos espacios. Es decir, dados los dígitos decimales con , uno tiene ${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {k}}$${\ Displaystyle b_ {k} \ neq 9}$

${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {k}, 9,9,9, \ cdots = b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {k} +1, 0,0,0, \ cdots}$

Esta generalización permite, por ejemplo, producir la curva de punta de flecha de Sierpiński (cuya imagen es el triángulo de Sierpiński ), utilizando los mapeos de contracción de un sistema de funciones iteradas que produce el triángulo de Sierpiński.

Curvas multifractales

Ornstein y otros describen un sistema multifractal , donde en lugar de trabajar en una base fija, se trabaja en una base variable.

Considere el espacio de producto de los espacios discretos de base variable ${\ Displaystyle m_ {n}}$

${\ Displaystyle \ Omega = \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}}$

para el grupo cíclico , para un número entero. Cualquier número real en el intervalo de la unidad se puede expandir en una secuencia tal que cada . Más precisamente, un número real se escribe como ${\ Displaystyle A_ {n} = \ mathbb {Z} / m_ {n} \ mathbb {Z} = \ {0,1, \ cdots, m_ {n} -1 \}}$${\ Displaystyle m_ {n} \ geq 2}$${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots)}$${\ Displaystyle a_ {n} \ in A_ {n}}$${\ Displaystyle 0 \ leq x \ leq 1}$

${\ Displaystyle x = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {\ prod _ {k = 1} ^ {n} m_ {k}}}}$

Esta expansión no es única, si todo ha pasado en algún momento . En este caso, uno tiene eso ${\ Displaystyle a_ {n} = 0}$${\ Displaystyle K <n}$

${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {K}, 0,0, \ cdots = a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {K} -1, m_ { K + 1} -1, m_ {K + 2} -1, \ cdots}$

Estos puntos son análogos a los racionales diádicos en la expansión diádica, y las ecuaciones de continuidad en la curva deben aplicarse en estos puntos.

Para cada uno , se debe especificar dos cosas: un conjunto de dos puntos y y un conjunto de funciones (con ). La condición de continuidad es entonces como arriba, ${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle p_ {0} ^ {(n)}}$${\ Displaystyle p_ {1} ^ {(n)}}$${\ Displaystyle m_ {n}}$${\ Displaystyle d_ {j} ^ {(n)} (z)}$${\ Displaystyle j \ en A_ {n}}$

${\ Displaystyle d_ {j} ^ {(n)} (p_ {1} ^ {(n + 1)}) = d_ {j + 1} ^ {(n)} (p_ {0} ^ {(n + 1)})}$ , para ${\ Displaystyle j = 0, \ cdots, m_ {n} -2.}$

El ejemplo original de Ornstein utilizado

${\ Displaystyle \ Omega = \ left (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ right) \ times \ left (\ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ right) \ times \ left (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z} \ right) \ times \ cdots}$

Ver también

• Sistema de funciones iteradas
• Función refinable
• Grupo modular
• Grupo fucsia

Referencias

Otras lecturas

• Georges de Rham, On Some Curves Defined by Functional Equations (1957), reimpreso en Classics on Fractals , ed. Gerald A. Edgar (Addison-Wesley, 1993), págs. 285-298.
• Georges de Rham, Sur quelques courbes define par des ecations fonctionnelles . Univ. e Politec. Torino. Desgarrar. Sem. Mat., 1957, 16, 101-113
• Linas Vepstas, Una galería de curvas de Rham , (2006).
• Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos , (2006). (Una exploración general de la simetría del grupo modular en curvas fractales).