Jerarquía acumulativa - Cumulative hierarchy
En matemáticas , específicamente en la teoría de conjuntos , una jerarquía acumulativa es una familia de conjuntos W α indexada por ordinales α tal que
- W α ⊆ W α + 1
- Si α es un ordinal límite , entonces W α = ∪ β <α W β
Algunos autores además requieren que W α + 1 ⊆ P ( W α ) o que W 0 esté vacío .
La unión W de los conjuntos de una jerarquía acumulativa se utiliza a menudo como modelo de teoría de conjuntos.
La frase "la jerarquía acumulativa" generalmente se refiere a la jerarquía acumulativa estándar V α del universo de von Neumann con V α + 1 = P ( V α ) introducida por Zermelo (1930) .
Principio de reflexión
Una jerarquía acumulativa satisface una forma del principio de reflexión : cualquier fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se mantenga en la unión W de la jerarquía también se cumple en algunas etapas W α .
Ejemplos de
- El universo de von Neumann se construye a partir de una jerarquía acumulativa V α .
- Los conjuntos L α del universo construible forman una jerarquía acumulativa.
- Los modelos con valores booleanos construidos forzando se construyen utilizando una jerarquía acumulativa.
- Los conjuntos bien fundados en un modelo de teoría de conjuntos (que posiblemente no satisfagan el axioma de fundamento ) forman una jerarquía acumulativa cuya unión satisface el axioma de fundamento.
Referencias
- Jech, Thomas (2003). Establecer teoría . Springer Monographs in Mathematics (Tercer milenio ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Zbl 1007.03002 .
- Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" . Fundamenta Mathematicae . 16 : 29–47. doi : 10.4064 / fm-16-1-29-47 .