Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones - Rotations and reflections in two dimensions

En geometría , las rotaciones y reflexiones bidimensionales son dos tipos de isometrías del plano euclidiano que están relacionadas entre sí.

Se puede formar una rotación en el plano componiendo un par de reflejos. Primero refleja un punto P a su imagen P ′ en el otro lado de la línea L ₁ . Luego refleja P ′ a su imagen P ′ ′ en el otro lado de la línea L ₂ . Si las líneas L ₁ y L ₂ forman un ángulo θ entre sí, entonces los puntos P y P ′ ′ formarán un ángulo 2θ alrededor del punto O , la intersección de L ₁ y L ₂ . Es decir, el ángulo POP ′ ′ medirá 2 θ .

Un par de rotaciones sobre el mismo punto O será equivalente a otra rotación alrededor del punto O . Por otro lado, la composición de una reflexión y una rotación, o de una rotación y una reflexión (la composición no es conmutativa ), será equivalente a una reflexión.

Las afirmaciones anteriores se pueden expresar de forma más matemática. Sea una rotación alrededor del origen O en un ángulo θ como Rot ( θ ). Supongamos que una reflexión sobre una línea L que pasa por el origen que forma un ángulo θ con el eje x se denota como Ref ( θ ). Deje que estas rotaciones y reflexiones operen en todos los puntos del plano, y que estos puntos estén representados por vectores de posición . Entonces, una rotación se puede representar como una matriz,

${\ Displaystyle \ operatorname {Rot} (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}},}$

y también para una reflexión,

${\ Displaystyle \ operatorname {Ref} (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos 2 \ theta & \ sin 2 \ theta \\\ sin 2 \ theta & - \ cos 2 \ theta \ end {bmatrix}} .}$

Con estas definiciones de rotación y reflexión de coordenadas, se mantienen las siguientes cuatro identidades:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Rot} (\ theta) \, \ operatorname {Rot} (\ phi) & = \ operatorname {Rot} (\ theta + \ phi), \\\ operatorname {Ref } (\ theta) \, \ operatorname {Ref} (\ phi) & = \ operatorname {Rot} (2 \ theta -2 \ phi), \\\ operatorname {Rot} (\ theta) \, \ operatorname {Ref } (\ phi) & = \ operatorname {Ref} \ left (\ phi + {\ frac {1} {2}} \ theta \ right), \\\ operatorname {Ref} (\ phi) \, \ operatorname { Rot} (\ theta) & = \ operatorname {Ref} \ left (\ phi - {\ frac {1} {2}} \ theta \ right). \ End {alineado}}}$

Estas ecuaciones se pueden probar mediante la multiplicación de matrices y la aplicación de identidades trigonométricas , específicamente las identidades de suma y diferencia.

El conjunto de todos los reflejos en líneas a través del origen y rotaciones sobre el origen, junto con la operación de composición de reflejos y rotaciones, forma un grupo . El grupo tiene una identidad: Rot (0). Cada rotación Rot ( φ ) tiene una Rot inversa (- φ ). Cada reflexión Ref ( θ ) es su propia inversa. La composición tiene cierre y es asociativa, ya que la multiplicación de matrices es asociativa.

Observe que tanto Ref ( θ ) como Rot ( θ ) se han representado con matrices ortogonales . Todas estas matrices tienen un determinante cuyo valor absoluto es la unidad. Las matrices de rotación tienen un determinante de +1 y las matrices de reflexión tienen un determinante de -1.

El conjunto de todas las matrices bidimensionales ortogonales junto con la multiplicación de matrices forman el grupo ortogonal : O (2).

La siguiente tabla da ejemplos de matriz de rotación y reflexión:

Escribe	ángulo θ	matriz
Rotación	0 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Rotación	${\ Displaystyle \ pm}$45 °	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & \ mp 1 \\\ pm 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Rotación	90 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Rotación	180 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 y 0 \\ 0 y -1 \ end {pmatrix}}}$
Reflexión	0 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 y 0 \\ 0 y -1 \ end {pmatrix}}}$
Reflexión	45 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Reflexión	90 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Reflexión	-45 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 y -1 \\ - 1 y 0 \ end {pmatrix}}}$

Ver también

• Simetrías euclidianas
• Isometría del plano euclidiano
• Grupo diedro
• Teorema de Cartan-Dieudonné
• Grupo de rotación SO (3) - 3 dimensiones