Aleatoriedad espacial completa - Complete spatial randomness

La aleatoriedad espacial completa ( CSR ) describe un proceso puntual mediante el cual los eventos puntuales ocurren dentro de un área de estudio determinada de forma completamente aleatoria. Es sinónimo de un proceso de Poisson espacial homogéneo . Dicho proceso se modela utilizando un solo parámetro , es decir, la densidad de puntos dentro del área definida. El término aleatoriedad espacial completa se usa comúnmente en Estadística Aplicada en el contexto de examinar ciertos patrones de puntos, mientras que en la mayoría de los otros contextos estadísticos se hace referencia al concepto de proceso de Poisson espacial. ${\ Displaystyle \ rho}$

Modelo

Los datos en forma de un conjunto de puntos, distribuidos irregularmente dentro de una región del espacio, surgen en muchos contextos diferentes; los ejemplos incluyen la ubicación de árboles en un bosque, de nidos de pájaros, de núcleos en tejidos, de personas enfermas en una población en riesgo. Llamamos a cualquier conjunto de datos de este tipo un patrón de puntos espaciales y nos referimos a las ubicaciones como eventos, para distinguirlos de los puntos arbitrarios de la región en cuestión. La hipótesis de aleatoriedad espacial completa para un patrón de puntos espaciales afirma que el número de eventos en cualquier región sigue una distribución de Poisson con un conteo medio dado por subdivisión uniforme. Los eventos de un patrón se distribuyen de manera independiente y uniforme en el espacio; en otras palabras, es igualmente probable que los eventos ocurran en cualquier lugar y no interactúen entre sí.

"Uniforme" se usa en el sentido de seguir una distribución de probabilidad uniforme en toda la región de estudio, no en el sentido de dispersar "uniformemente" en la región de estudio. No hay interacciones entre los eventos, ya que la intensidad de los eventos no varía en el plano. Por ejemplo, el supuesto de independencia se violaría si la existencia de un evento fomentara o inhibiera la ocurrencia de otros eventos en el vecindario.

Distribución

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar puntos exactos dentro del área con densidad de eventos es: ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle P (k, \ rho, V) = {\ frac {(V \ rho) ^ {k} e ^ {- (V \ rho)}} {k!}}. \, \!}$

El primer momento del cual, el número promedio de puntos en el área, es simplemente . Este valor es intuitivo ya que es el parámetro de tasa de Poisson. ${\ Displaystyle \ rho V}$

La probabilidad de ubicar al vecino de cualquier punto dado, a alguna distancia radial es: ${\ Displaystyle N ^ {\ mathrm {th}}}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle P_ {N} (r) = {\ frac {D} {(N-1)!}} {\ lambda} ^ {N} r ^ {DN-1} e ^ {- \ lambda r ^ { D}},}$

donde es el número de dimensiones, es un parámetro dependiente de la densidad dado por y es la función gamma , que cuando su argumento es entero, es simplemente la función factorial . ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {\ rho \ pi ^ {\ frac {D} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {D} {2}} + 1)}}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

El valor esperado de se puede derivar mediante el uso de la función gamma utilizando momentos estadísticos. El primer momento es la distancia media entre partículas distribuidas aleatoriamente en dimensiones. ${\ Displaystyle P_ {N} (r)}$${\ Displaystyle D}$

Aplicaciones

El estudio de la RSE es esencial para la comparación de datos puntuales medidos de fuentes experimentales. Como método de prueba estadística, la prueba de RSE tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales y en los exámenes astronómicos. La RSE suele ser el estándar con el que se prueban los conjuntos de datos. Un enfoque que se describe a grandes rasgos para probar la hipótesis de la RSE es el siguiente:

1. Utilice estadísticas que sean una función de la distancia desde cada evento hasta el siguiente evento más cercano.
2. En primer lugar, concéntrese en un evento específico y formule un método para probar si el evento y el siguiente evento más cercano están significativamente cerca (o distantes).
3. A continuación, considere todos los eventos y formule un método para probar si la distancia promedio desde cada evento hasta el siguiente evento más cercano es significativamente corta (o larga).

En los casos en los que el cálculo de las estadísticas de prueba es difícil, se emplean métodos numéricos, como la simulación del método de Monte Carlo , mediante la simulación de un proceso estocástico un gran número de veces.

Referencias

Otras lecturas

• Diggle, PJ (2003). Análisis estadístico de patrones de puntos espaciales (2ª ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN 0340740701.

enlaces externos

• Mejora de las pruebas de aleatoriedad de distancia entre eventos en procesos de puntos espaciales